高中数学必修1教案演示教学.doc

高中数学必修1教案精品文档第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示课标三维定向知识与技能1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。2、掌握集合中元素的特性。3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。过程与方法通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。情感、态度、价值观在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。重点集合的含义与表示方法。难点集合表示方法的恰当选择及应用。教学过程设计一、阅读课本：P26（10分钟）（学生课前预习）二、核心内容整合1、为什么要学习集合现代数学的基础（数学分支）2、集合的含义：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。3、集合的特性（1）确定性。问题：“高个子”能不能构成集合？我国的小河流呢？知识链接模糊数学（“模糊数学简介”、“浅谈模糊数学”）（2）互异性：集合中的元素不重复出现。如1，1，2不能构成集合（3）无序性相等集合，如1，2 = 2，14、元素与集合之间的“属于”关系：5、一些常用数集的记法：N（N*，N+），Z，Q，R。如：R+表示什么？6、集合的表示法：（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“括起来。例1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；0，1，2，3，4，5，6，7，8，9（2）方程的所有实数根组成的集合；（0，1）（3）由1 20以内的所有质数组成的集合。（难点：质数的概念）2，3，5，7，11，13，17，19（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示。例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程的所有实数根组成的集合；列举法：；描述法：。（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。列举法：11，12，13，14，15，16，17，18，19；描述法：。知识链接代表元素：如（自变量的取值范围），（函数值的取值范围），（平面上在抛物线上的点）各代表的意义。三、迁移应用1、已知，求实数a的值。2、已知是单元素集合，求实数a的值。思路探求：（1）对a讨论；（2）方程仅一根。四、学习水平反馈：P6，练习；P13，习题11，A组，1、2。五、三维体系构建六、课后作业：P13，习题11，A组，3、4。补充：已知，若，求实数a的值。1.1.2 集合间的基本关系课标三维定向知识与技能1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。2、在具体情景中，了解空集的含义。过程与方法从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、概括和思维方法。情感、态度、价值观通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识。教学重、难点重点理解子集、真子集、集合相等等。难点子集、空集、集合间的关系及应用。教学过程设计一、问题情境设疑类比引入问题：实数有相等关系、大小关系，可否拓展到集合之间的关系？引例：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？（1）A = 1，2，3，B = 1，2，3，4，5；（2）设A为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；（3）设C = x | x是两条边相等的三角形，D = x | x是等腰三角形。二、核心内容整合1、子集的概念集合A中任意一个元素都是集合B的元素，记作或。图示如下符号语言：任意，都有。2、集合相等类比：实数：且集合：且3、真子集的概念集合，但存在元素，且，记作或。（A B）说明：从自然语言、符号语言、图形语言三个方面加以描述。4、空集的概念：不含任何元素的集合，记作 规定：空集是任何集合的子集：知识链接比较计算机“我的文档”的“文件夹”与子集的关系。如何体现“集合相等”？5、包含关系与属于关系有什么区别？如0，0，。注意区分元素与集合，集合与集合之间的符号表示。6、集合的性质（1）反身性：（2）传递性：课堂练习：判断集合A是否为集合B的子集，若是打“”，若不是打“”。（1）A = 1，3，5，B = 1，2，3，4，5，6 （ ）（2）A = 1，3，5，B = 1，3，6，9 （ ）（3）A = 0，B = （ ）（4）A = a，b，c，d，B = d，b，c，a （ ）三、例题分析示例例1、写出集合a , b的所有子集，并指出哪些是它的真子集。，a，b，a，b。探究拓展练习：P8，练习1。探究：集合A中有n个元素，请总结出它的子集、真子集的个数与n的关系。子集的个数：2 n，真子集的个数：2 n 1。与杨辉三角形比较。例2、设，且A = B，求实数x，y的值。例3、若，当时，求实数m的取值范围。四、学习水平反馈：P8，练习2，3；P14，1，2。五、三维体系构建集合间的基本关系：子集，集合相等，真子集，空集。六、课后作业1、已知a , xR，集合A = 2 , 4 , x 2 5x + 9 , B = 3 , x 2 + ax + a，（1）若A = 2 , 3 , 4，求x的值；（2）若，求a , x的值。2、已知A = x | x 2 , B = x | 4x + p 0，且，求实数p的取值范围。1.1.3 集合的基本运算知识与技能1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。3、能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。过程与方法通过类比实数的运算，得到集合间的运算：并、交、补，在正确理解并集、交集、补集概念的基础上学会求集合的并集、交集、补集的方法，并体会数形结合思想的应用。情感、态度、价值观在学习集合运算的过程中，培养类比的思想及由特殊到一般的认知规律，同时在利用数轴和Venn图解题的过程中，学会用数形结合思想解决数学问题。教学重、难点重点并集、交集、补集的概念及集合的运算。难点补集的意义及集合的应用，符号之间的区别与联系。教学过程设计 第一课时 并集与交集一、问题情境设疑类比：实数有加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、核心内容整合1、并集引例：考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？（1）A = 1，3，5，B = 2，4，6，C = 1，2，3，4，5，6；（2）A = x | x是有理数，B = x | x是无理数，C = x | x是实数。定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作AB。AB = x | xA或xB，图示如右。性质：（1）AA = A；（2）。例1、设A = 4，5，6，8，B = 3，5，7，8，求AB。AB = 3，4，5，6，7，8例2、设集合A = x | 1 x 2，集合B = x | 1 x 0时，值域为；a 0时，求的值。注意： 研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提 函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实数x的集合。结论：（1）如果是整式，则定义域是实数集R；（2）如果是分式，则定义域是使分母不等于0的实数的集合；（3）如果是二次根式，则定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；（4）如果是由几个部分的式子构成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合（即各集合的交集）；（5）如果是实际问题，则定义域是使实际问题有意义的实数的集合。练习4：P19练习1、2。四、三维体系构建1、函数的概念： 2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。3、会求简单函数的定义域和函数值。五、课后作业： P24，习题1.2，A组，1，3，4。第二课时 函数的定义域与值域三维目标构建知识与技能1、掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域，并会求一些简单函数的定义域和值域。2、了解区间的意义，并进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。过程与方法进一步体会集合与对应关系在刻画函数概念中的作用，明确函数定义域在三要素中的地位与作用。情感、态度、价值观培养学生分析、解决问题的能力，养成良好的学习习惯。重点熟练掌握一次、二次函数与反比例函数的定义域和值域。难点含字母参数与抽象函数的定义域的求解。教学过程设计一、复习引入1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：。练习1：已知，求。2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域。二、核心内容整合1、区间的概念：设a，b是两个实数，而且a b，我们规定：（1）满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b；（2）满足不等式a x b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；（3）满足不等式a x b或a a，x b， x b的实数的集合分别表示为a，+)、(a，+)、(-，b、(-，b)。注意： 区间是一种表示连续性的数集； 定义域、值域经常用区间表示； 用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。练习2、试用区间表示下列实数集：（1）x |5 x 6； （2）x | x 9 ；（3）x | x -1 x | -5 x 2； 4）x | x -9x | 9 x 20。2、典型例题分析：例2、下列函数中哪个与函数y = x相等？（1）； （2）； （3）； （4）。知识提炼两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。练习3：P19练习3。例3、已知。（1）求和的值；（2）求和的值。练习4：（1）已知，求；（2）已知，求。例4、（1）已知的定义域为1，4，求的定义域。分析：令，因为的定义域为1。4，所以，所以的定义域为 1，2。（2）已知的定义域为0，3，求的定义域。分析：令，因为，所以，所以的定义域为1，2，从而的定义域的定义域为 1，2三、归纳小结：1、区间的概念：能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。2、判断两个函数相等：两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。3、求函数的解析式：换元法或整体代入（配凑法）。4、已知的定义域，求复合函数的定义域。四、布置作业：课本P24，习题1.2，A组第2、3题。补充：已知，（1）求的值；（2）求的值。1.2.2 函数的表示法第一课时 函数的表示法三维目标构建知识与技能理解并掌握函数的三种表示方法，并能进行简单应用。过程与方法通过现实生活丰富实例的探究过程，感受不同方法在具体问题中的应用，渗透数形结合思想方法。情感、态度与价值观提高利用函数观点分析和解决问题的能力，通过数学活动，体验数学的应用意识，体会数学的价值。重点函数的三种表示方法。难点利用列表、图象认识函数的意义，以及根据条件，利用恰当方法表示函数及相互转化。教学过程设计一、核心内容整合函数的表示法：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如实例1（炮弹发射）。（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，如实例2（南极臭氧空洞）。（3）列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系，如实例3（恩格尔系数）。二、例题分析示例例1、某种笔记本的单价是5元，买x（x 1 , 2 , 3 , 4 , 5）个笔记本需要y元，试用函数的三种表示方法表示函数。分析：解析法：1，2，3，4，5；笔记本数x12345钱数y510152025列表法：图象法：三种表示方法的特点：解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值。列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。图像法的特点：直观形象地表示出函数的变化情况 ，有利于通过图形研究函数的某些性质。三种表示方法举例：解析法：；列表法：国内生产总值（单位：亿元）年份1990199119921993生产总值18598.421662.526651.934560.5图象法：我国人口出生变化率曲线：例2、下表是某校高一（1）班的三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分数，设测试序号为X，成绩为Y，（1）每位同学的成绩Y与测试序号X之间的函数关系能用解析法表示吗？（2）若要对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析，选用那种方法比较恰当？例3、北京市昌平区政府预想在2008年九龙游乐园建造一个直径为20m 的圆形喷水池，如图所示，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心4m处达到最高，高度为6m。另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合。这个装饰物的高度应当如何设计？解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示。由物理学知识可知，喷出的水柱轨迹是抛物线型。建立如图所示的直角坐标系，由已知条件易知，水柱上任意一个点距中心的水平距离x（m）与此点的高度y（m）之间的函数关系是由x = 10，y = 0，得；由x = 10，y = 0，得，于是，所求函数解析式是，当x = 0时，所以装饰物的高度为m。ABCD2x三、学习水平反馈练习：1、周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示），若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y关于x的函数，并求出定义域。（拓展：求y的最大值。）AxOP6 79y2、在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其方程为，D =（6，7）为x轴上给定的区间。（1）为使物体落在D内，求a的取值范围；（2）若物体运动时，又经过点P（2，8.1），问它能否落在D内？并说明理由。3、课本P23练习1，2。四、三维体系构建（1）理解函数的三种表示方法；（2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数。五、课后作业：P24，习题1.2，A组，8，9；B组，4。第二课时 分段函数三维目标定向知识与技能1、会利用图象的对称性画出含有绝对值符号的函数的图象。2、通过实例体会分段函数的概念并了解分段函数在解决实际问题中的应用。过程与方法通过丰富实例的探究过程，体会分段函数在具体问题中的应用。情感、态度与价值观体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的运用。教学重难点分段函数的理解以及分段函数在实际问题中的运用。教学过程设计-2-30123xy12345-1一、含有绝对值符号的函数的图象例1、画出函数的图象。解：由绝对值的概念，我们有，所以函数的图象为：xOy22练习1、画出函数的图象。练习2、画出函数的图象。练习3、画出函数的图象。xOy22xOy22结论：函数的图象：把函数图象中x轴下方的图象对称到x轴上方；函数的图象：先画出函数在y轴右方的图象，再关于y轴对称到左边。二、分段函数例2、（公交车票价）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量的取值范围是。由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：0510152012345xy，其图象为：分段函数：所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。510152025303551015202530Ot/sv(cm/s)例3、某质点30秒内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图，用解析式法表示出这个函数，并求出9秒时质点的速度。分析：函数的解析式为：，当t = 9时，。练习4、中华人民共和国个人所得税规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（%）不超过500元的部分5超过500元至2000元的部分10超过2000元至5000元的部分15某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？ABCDPx练习5、如图，在边长为1的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，求：（1）y关于x的函数关系式；（2） 画出y = f (x) 的图象。三、归纳小结（1）图象与解析式是函数最重要的两种表示方法，两者相辅相成，互为补充，要能够顺利地进行两者的互相转化。（2）分段函数是一种特殊的函数，自变量在不同范围内取值时，对应的解析式不同，但无论分段函数共有几段，它始终是一个函数，而不是多个函数。四、布置作业1、画出下列函数的图象：（1）； （2）。2、课本P25，习题1.2，B组，3。3、练习5。1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值第一课时 函数的单调性三维目标定向知识与技能（1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。过程与方法借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。情感、态度与价值观渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。教学重难点重点函数单调性的概念。难点熟练运用定义判断、证明函数的单调性。教学过程设计一、问题情境设疑引例：画出一次函数和二次函数的图象。（几何画板）问题：以上两个图象有什么特征？“上升”、“下降”上升：随着x的增大，相应的f (x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f (x)减小。二、核心内容整合1、函数的单调性的概念：问题：如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f (x)也增大”？学生探究。增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 x2时，都有f (x1) f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数。学生类比得出减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数。知识提炼同增异减注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当时，总有或，分别是增函数和减函数。2、函数的单调性的定义如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间。yoxyox3、基本初等函数的单调性（1）一次函数：当a 0时，在上是增函数；yoxoyx当a 0时，在和上是减函数；当k 0时，在上是增函数，在上是减函数；yoxyox当a 0时，在上是减函数，在上是增函数；三、例题分析示例例1、如图是定义在区间 5，5上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？例2、物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。知识提炼用定义证明函数的单调性的一般步骤：（1）取值：设x1 , x2是给定区间上任意的两个值，且x1 x2；（2）作差变形：f (x1) f (x2)；（变形手段：通分、因式分解、配方、有理化等。）（3）定号：确定f (x1) f (x2)的符号；（4）判断：当f (x1) f (x2)时，是减函数。探究画出反比例函数的图象。（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。四、学习水平反馈：P32练习，1，2，3，4。五、三维体系构建函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分四步：取值作差定号判断六、课后作业：P39，习题1.3，A组1，2，3。第二课时 函数的最大（小）值三维目标定向知识与技能理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。过程与方法借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。情感、态度与价值观渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。教学重难点函数最值的意义及求函数的最值。教学过程设计一、引例画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：（1）； （2）。1）说出的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ xyooxy二、核心内容整合1、函数的最大（小）值的概念设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么称M是函数的最大值。学生类比给出函数最小值的概念：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么称M是函数的最小值。注意：（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在，使得；（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有（）。2、一元二次函数的最值：（1）配方：；（2）图象：（3）a 0时，；a 0时，。二、例题分析示例例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？知识提炼函数的最值与单调性的关系：（1）f (x)在a , b上为增函数，则f (a)为最小值，f (b)为最大值；（2）f (x)在a , b上为减函数，则f (a)为最大值，f (b)为最小值。例3、已知函数，求函数的最大值和最小值。分析：证明函数在给定区间上为减函数。三、学习水平反馈：P36，练习5。补充练习：1、函数在区间 ( ，6 内递减，则a的取值范围是（ ）（A）a 3 （B）a 3 （C）a 3 （D）a 32、在已知函数在上递减，在上递增，则在1，2上的值域是_。四、三维体系构建1、函数的最大（小）值的含义。2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。如果函数在区间a，b上单调递增，则函数在x = a处有最小值，在x = b处有最大值；如果函数在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数在x = b处有最小值；五、课后作业：P39，习题1.3，A组5，B组2。教学反思：第三课时 一元二次函数在给定区间的最值例1、函数的最小值为 ，最大值为 。练习：函数的最小值为 ，最大值为 。一般结论：（）配方，求对称轴；（）判断是否属于给定区间m , n： 若，则，再求，较大者为最大值； 若，则求，较大者为最大值，较小者为最小值。练习（1）求函数的最大、最小值。（2）求函数的最大、最小值。例2、求函数在区间 t 1 , t + 1 (t R)上的最大值。练习（1）（2006年福建高考）求函数在区间t , t + 1上的最大值。（2）设函数f (x) = 4x 2 4ax + (a 2 2a + 2)在0, 2上的最大值为3，求a的值。（3）求函数的最大、最小值。作业：1、求函数在区间t , t + 1上的最大值。2、已知函数。（1）当a = 1时，求f (x)的最值；（2）求实数a的取值范围，使y = f (x)在 5 , 5上是单调函数。1.3.2 函数的奇偶性三维目标定向知识与技能结合具体函数了解奇偶性的含义，能利用函数的图象理解奇函数、偶函数；能判断一些简单函数的奇偶性，并利用奇偶性简化一些函数的图象。过程与方法体验奇函数、偶函数概念形成的过程，体会由形及数、数形结合的数学思想，并学会由特殊到一般的归纳推