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圆知识点总结及归纳

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第一讲 圆的方程宋体三号加粗

一、知识清单一级标题宋体四号加粗

（一）圆的定义及方程二级标题宋体小四加粗

定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)正文宋体五号

标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心：，
半径：

1、圆的标准方程与一般方程的互化三级标题宋体五号加粗

（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x＋)2＋(y＋)2＝
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；
②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（二）点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2馨提示
1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：
（1）B＝0； （2）A＝C≠0； （3）D2＋E2－4AF＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
（2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝ ，y＝ .

二、典例归纳
考点一：有关圆的标准方程的求法宋体小四加粗

【例1】注意例题符号使用
圆的圆心是 半径是 .

【例2】 点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)

【例3】 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1

【例4】 圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋y2＝5　　　　 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5

【变式1】已知圆的方程为，则圆心坐标为

【变式2】已知圆C与圆关于直线 对称，则圆C的方程为

【变式3】 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－3)2＋2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.2＋(y－1)2＝1

【变式4】已知的顶点坐标分别是，，，求外接圆的方程.

方法总结：宋体五号加粗

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．

考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】 若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则的取值范围是(　　)
A .＜m＜1　 　B．m＜或m＞1 C．m＜ D．m＞1

【例2】 将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0

【例3】 圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．

【变式1】 已知点是圆上任意一点，P点关于直线的对称点也在圆C上，则实数=

【变式2】 已知一个圆经过点、，且圆心在上，求圆的方程.

【变式3】 平面直角坐标系中有四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？

【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________．

方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组．
2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化

考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝32　　　　　　 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16

【例2】 方程表示的曲线是（ ）
A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆

【例3】 在中，若点的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.

【例4】 已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．

【变式1】 方程所表示的曲线是（ ）
A. 一个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆

【变式2】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝32　　　　　　 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
【变式3】 如右图，过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹．

【变式4】 如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．

方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

考点四：与圆有关的最值问题
【例1】 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________

【例2】 已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．
【例3】 已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是(　　)
A. B．1 C. D.

【例4】已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．

【变式1】 P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．

【变式2】 由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是(　　)
A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(1,3)

【变式3】 已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．

【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法
（1）形如u＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题
（2） 形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
（3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： （其中d为圆心到直线的距离）

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