曲线拟合的最小二乘法市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析第三章第三章 函数迫近函数迫近第1页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析曲线拟合最小二乘法问题曲线拟合最小二乘法问题在工程技术中经常需要依据试验数据求变量间函数在工程技术中经常需要依据试验数据求变量间函数关系，或依据测量坐标求出某条曲线方程。关系，或依据测量坐标求出某条曲线方程。给出一组离散点，我们能够用插值方法确定一个给出一组离散点，我们能够用插值方法确定一个函数迫近原函数。在实际问题中，数据不可防止会函数迫近原函数。在实际问题中，数据不可防止会有误差，插值函数会将这些误差也包含在内。另外，有误差，插值函数会将这些误差也包含在内。另外，有时这些数据大量，或看似杂乱无章。有时这些数据大量，或看似杂乱无章。第2页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 况且，有时依据前人经验或数据特点能够分况且，有时依据前人经验或数据特点能够分析出经验公式大致形式，只是其中有些参数需要析出经验公式大致形式，只是其中有些参数需要依据确定依据确定，不便使用插值迫近。，不便使用插值迫近。这就需要新迫近方这就需要新迫近方法。法。引例、引例、某种合成纤维强度与其拉伸倍数有直接某种合成纤维强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定关系，下表是实际测定24个纤维样品强度与个纤维样品强度与对应拉伸倍数统计。对应拉伸倍数统计。第3页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析数据表格数据表格第4页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析将数据描绘到坐标纸上将数据描绘到坐标纸上第5页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析这种迫近方法要求：这种迫近方法要求：1)不要求迫近函数严格过已知数据点；不要求迫近函数严格过已知数据点；2)但要求迫近函数在某种意义下尽可能靠近已但要求迫近函数在某种意义下尽可能靠近已知数据点；知数据点；第6页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 设设 f(x)为定义在区间为定义在区间a,b上函数，已知上函数，已知f(x)一组一组对应数据对应数据(xi，f(xi)，(i=1,2,m),Span 0，1，n为某一函数类为某一函数类，这一问题称为这一问题称为最小二乘问题。其中最小二乘问题。其中 (x)称为称为权函数权函数。曲线拟合最小二乘法曲线拟合最小二乘法定义定义在在 中求一个函数中求一个函数s(x)=a0 0+a1 1+an n使得使得第7页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析即要求：即要求：最小。最小。当取当取权函数权函数(x)1 时有时有第8页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析因为它关于系数因为它关于系数a0，a1，an最小，所以有：最小，所以有：记记称为函数称为函数 k和和 j内积内积。第9页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析则有则有于是有方程组：于是有方程组：法方程法方程由由线性无关性，知道该方程存在唯一解线性无关性，知道该方程存在唯一解第10页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 多项式拟合多项式拟合当取当取 0 1，1 x，n xn时时,s(x)=a0+a1 x+an xn为一个多项式。为一个多项式。此时此时法方程为法方程为第11页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析1.线性拟合线性拟合已知已知f(x)一组对应数据一组对应数据(xi，f(xi)，(i=1,2,m),取取 Span1，x，(x)1.用线性函数用线性函数:y=a+bx拟拟合曲线合曲线f(x)。法方程为法方程为第12页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析例例：炼炼钢钢是是个个氧氧化化脱脱碳碳过过程程，钢钢水水含含碳碳量量多多少少直直接接影影响响冶冶炼炼时时间间长长短短，下下表表给给出出某某厂厂平平炉炉生生产产统统计计。xi表表示示熔熔毕毕碳含量，碳含量，yi表示冶炼时间表示冶炼时间 ，已知已知y=a+bx。i12345xi165123150123141yi187126170125148试试依依据据数数据据确确定定参参数数a 和和b，并并预预计计熔熔毕毕碳碳含含量量为为130时时冶冶炼时间。炼时间。第13页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析i12345 xi165123150123141702yi187126170125148758xi2272251512922500151291988199864xi yi3085515498255001537520868108096法方程：法方程：5a+702b=758 ，702a+99864b=108096解之得：解之得：a=-28.61878453038674,b=1.283609576427256y-28.61878453038674+1.283609576427256x解：准备数据：解：准备数据：第14页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析f(130)138.25.第15页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析2.抛物拟合抛物拟合已知已知 f(x)一组对应数据一组对应数据(xi，f(xi)，(i=1,2,m),取取 Span1，x，x2，(x)1.用抛物曲线用抛物曲线:y=a+bx+cx2拟合曲线拟合曲线f(x)。法方程为法方程为第16页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 拟拟合合函函数数类类型型经经常常是是依依据据经经验验或或理理论论推推导导结结果果来来选选择择。当当无无法法分分析析拟拟合合函函数数类类型型时时，可可依依据据已已知知数数据据散散点点图图分分布布情况和特点选择适当拟合曲线类型。情况和特点选择适当拟合曲线类型。下下面面给给出出几几个个惯惯用用曲曲线线图图形形，并并可可经经过过适适当当变变换换将将其其化化为为较简单拟合：较简单拟合：几个常见曲线拟合线性化几个常见曲线拟合线性化第17页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析1.双曲双曲线线：(a0)第18页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析2.指数函数：指数函数：第19页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析3指数函数：指数函数：(a0)第20页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析4对对数函数：数函数：第21页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析5幂幂函数：函数：第22页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析6S曲线曲线第23页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 现有一组测量数据以下表：现有一组测量数据以下表：xi0.00.51.01.52.02.5yi=f(xi)2.01.00.90.60.40.3用曲线拟合最小二乘法求形如用曲线拟合最小二乘法求形如y=beax经验公式，并用该经验公式，并用该公式预计公式预计x1.4时时y=f(1.4)近似值近似值.例例第24页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析解：解：将将y=beax变形，变形，lny=lnb+ax 令令Y=lny,a0=lnb,则有线性关系：则有线性关系：Y=a0+ax，准备数据：，准备数据：于是法方程为：于是法方程为：解之得：解之得：a0=0.562303,a=-0.722282,于是于是b 1.754709.经验公式为经验公式为y=1.754709 e-0.722282 x，y=f(1.4)0.68335第25页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析散点图散点图第26页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析拟合曲线图拟合曲线图第27页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析拟合曲线图与散点图对照拟合曲线图与散点图对照第28页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析加入点加入点 y=f(1.4)0.68335第29页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析电电容器充容器充电电后后电压电压到达到达100V，然后开始放，然后开始放电电，经检测经检测得到得到时间时间t与与电压电压 u一一组组数据以下：数据以下：试试建立建立电压电压u与与时间时间t之之间间函数关系，并函数关系，并测测算算t=3.2时电压时电压u为为多少？多少？例例t012345678910u100755540302015101055第30页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析散点图散点图可作形如：u=Beat 经验公式。第31页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析Sumt01234567891055u100755540302015101055U=lnu4.6054.3174.0073.6883.4012.9952.702.3022.3021.60941.60933.54t20149162536496481100385t*U04.3178.01411.0613.614.9716.2416.1118.42014.48416.09133.34数据法方程组解之得 b=4.61303,a=-0.312645.于是B=100.789,得经验公式：u=100.789e-0.312645t第32页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析第33页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析第34页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析应用实例：应用实例：上海机床厂为客户加工一个压轴，要求压轴边缘曲线上海机床厂为客户加工一个压轴，要求压轴边缘曲线过以下各点，试设计压轴边缘曲线方程过以下各点，试设计压轴边缘曲线方程。x0125250375500612750870100011251250y0-0.01-0.02-0.028-0.036-0.043-0.049-0.054-0.057-0.059-0.06第35页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析散散点点图图第36页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析作作10次插值函数为：次插值函数为：-0.0002757 x+4.565510-6 x2-4.26610-8 x3+2.11279610-10 x4-6.170410-13 x5 +1.11655610-15 x6-1.265388710-18 x7 +8.73638610-22 x8-3.35773510-25 x9 +5.504610-29 x10第37页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析插值曲线为插值曲线为第38页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析作二次拟合得作二次拟合得拟合曲线为拟合曲线为0.00066375666394373-0.000091547995 x+3.412609862510-8 x2第39页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析作三次拟合得作三次拟合得拟合曲线为拟合曲线为0.000029849-0.000083484 x+1.71731610-8 x2+9.05250428610-12 x3第40页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析作四次拟合得作四次拟合得拟合曲线为拟合曲线为-0.0000534961-0.000081171 x+7.93007*10-9 x2+2.08751*10-11 x3-4.72693*10-15 x4第41页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析第42页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析下表是8月11日男子赛跑奥运会纪录x1002004008001500y9.84 19.32 43.49 102.58 212.07 试建立当今成年男子赛跑所需时间与距离之间函数关系，并测算男子1000米赛跑奥运会纪录大概为多少？例题第43页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析第44页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析抛物抛物拟拟合：合：T(x)=-3.576+0.11532x+0.0000191035x2T(1000)=130.847注意：作二次拟合时数据较大，处理困难，可换算单位注意：作二次拟合时数据较大，处理困难，可换算单位将距离除以将距离除以100处理，只需回代时换算回去即可。处理，只需回代时换算回去即可。第45页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析第46页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析2.幂函数拟合：幂函数拟合：T(x)=0.0410863 x1.14587T(1000)=112.541第47页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析第48页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析 已知已知n元函数元函数y=f(x1,x2,xn)一组测量数据一组测量数据(x1i,x2i,xni，yi)，(i=1,2,m),Span 0，1，n为一个为一个n元函数类元函数类，最小最小.其中其中 (x1,x2,xn)为权函数为权函数,i=(x1i,x2i,xni).这就是多元函数这就是多元函数 f 最小二乘法。最小二乘法。多元函数最小二乘拟合多元函数最小二乘拟合在在 中求一个函数中求一个函数s(x1,x2,xn)=a0 0(x1,x2,xn)+an n(x1,x2,xn)使得使得第49页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析与曲线拟合类似地有法方程：与曲线拟合类似地有法方程：其中内积其中内积第50页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析解得解得a0，a1，an，以其为系数函数，以其为系数函数s(x1,x2,xn)=a0 0(x1,x2,xn)+an n(x1,x2,xn)即为即为 n 元函数元函数 y=f(x1,x2,xn)最小二乘拟合。最小二乘拟合。第51页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析实际应用实际应用为了更加好地拓展产品市场，找出企业生产牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间关系，从而预测出在不一样价格和广告费用下销售量，现搜集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）企业生产牙膏销售量、销售价格、投入广告费用，以及同期其它厂家生产同类牙膏市场平均销售价格，试依据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它原因关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。第52页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据销售周期销售周期销售价格（元）销售价格（元）其它厂家平均价格其它厂家平均价格（元）（元）广告费用广告费用（百万元）（百万元）价格差（元）价格差（元）销售量销售量（百万支）（百万支）13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.5133.704.307.250.609.5243.704.305.5007.5053.603.857.000.259.3363.603.806.500.208.2873.603.756.750.158.7583.803.855.250.057.8793.803.655.25-0.157.10103.854.006.000.158.00113.904.106.500.207.89123.904.006.250.108.15133.704.107.000.409.10143.754.206.900.458.86第53页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析销售周期销售周期销售价格（元）销售价格（元）其它厂家平均价格其它厂家平均价格（元）（元）广告费用广告费用（百万元）（百万元）价格差（元）价格差（元）销售量销售量（百万支）（百万支）153.754.106.800.358.90163.804.106.800.308.87173.704.207.100.509.26183.804.307.000.509.00193.704.106.800.408.75203.803.756.50-0.057.95213.803.756.25-0.057.65223.753.656.00-0.107.27233.703.906.500.208.00243.553.657.000.108.50253.604.106.800.508.75263.654.256.800.609.21273.703.656.50-0.058.27283.753.755.7507.67293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.26第54页理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学数值分析建立模型建立模型第55页