高考湖南理科数学试题及答案word解析版.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2013年湖南，理1，5分】复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】B
【解析】，对应点为，故在第二象限，故选B．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．
（2）【2013年湖南，理2，5分】某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
（A）抽签法 （B）随机数法 （C）系统抽样法 （D）分层抽样法
【答案】D
【解析】总体由男生和女生组成，比例为500:500=1:1，所抽取的比例也是1:1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法，故选D．
【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（3）【2013年湖南，理3，5分】在锐角中，角，所对的边长分别为．若，则角等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】∵在中，，∴由正弦定理得：，∴，又为锐角三角形，∴，故选D．
【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．
（4）【2013年湖南，理4，5分】若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）
（A） （B）0 （C） （D）
【答案】B
【解析】约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令，即，由线性规
划知识可得最优点为，所以，故选B．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
（5）【2013年湖南，理5，5分】函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
【答案】B
【解析】解法一：
设与图象的交点坐标为，则，，联立得，
令，由得，(舍)．
当，即时，单调递减；当，即时，单调递增．
又∵，，，∴与轴必有两个交点，故选B．
解法二：
在同一坐标系下，画出函数的图象与函数的图象如
下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点，故选B．
点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，
做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．
（6）【2013年湖南，理6，5分】已知是单位向量，． 若向量满足，
则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题意，不妨令，，，由得，
可看做到原点的距离，而点在以为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点在位置时到原点的距离最近，在位置时最远，，，故选A．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．
（7）【2013年湖南，理7，5分】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为，如图所示．故正视图的面
积为，∴，而，故面积不可能等于，故选C．
【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．
（8）【2013年湖南，理8，5分】在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（ ）
（A）2 （B1 （C） （D）
【答案】D
【解析】以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系如图所示．则，，
．设的重心为，则点坐标为．设点坐标为，则点
关于轴的对称点为，因为直线方程为，所以点关于的
对称点为，根据光线反射原理，，均在所在直线上，∴，
即，解得，或．当时，点与点重合，舍去．∴，故选D．
【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分）（二）必做题（12~16题）．
（9）【2013年湖南，理9，5分】在平面直角坐标系中，若直线 (为参数) 过椭圆（为参数）的右顶点，则常数的值为 ．
【答案】3
【解析】由题意知在直角坐标系下，直线的方程为，椭圆的方程为，所以其右顶点为．由题意知，解得．
【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．
（10）【2013年湖南，理10，5分】已知，，则的最小值为 ．
【答案】12
【解析】由柯西不等式得，即，当时等号成立，所以的最小值为12．
【点评】本题给出等式，求式子的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯
西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．
（11）【2013年湖南，理11，5分】如图，在半径为的中，弦，相交于点，，
，则圆心到弦的距离为 ．
【答案】
【解析】如图所示，取中点，连结，．由圆内相交弦定理知，
所以，，则，．所以到距离为．
【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热
点问题．
（二）必做题（12~16题）
（12）【2013年湖南，理12，5分】若，则常数的值为 ．
【答案】3
【解析】∵，∴，∴．
【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．
（13）2013年湖南，理13，5分】执行如图3所示的程序框图，如果输入，则输出
的的值为 ．
【答案】9
【解析】输入，，不满足，故；不满足，故；不满
足，故；不满足，故，满足，终止循环．输出．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
（14）【2013年湖南，理14，5分】设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】不妨设，由，可得．∵，∴，
∴，得，即，∴．
【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．
（15）【2013年湖南，理15，5分】设为数列的前项和，，则（1） ； （2） ．
【答案】(1)　(2)
【解析】（1）由，，当时，有，得．
当时，．即．
若为偶数，则．所以（为正奇数）；
若为奇数，则．所以（为正偶数）．
所以．
（2）（为正奇数），所以，又（为正偶数），所以．
则．，．则．…．
所以，
．
【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当为偶数时能求出奇数项的通项，当为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．
（16）【2013年湖南，理16，5分】设函数，其中．（1）记集合 不能构成三角形的三条边长，且，则所对应的的零点的取值集合为______ ．（2）若是的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① ；②，使不能构成一个三角形的三条边长；
③ 若为钝角三角形，则使．
【答案】(1)；(2)①②③
【解析】（1），，所以，则．令．
得，所以．所以．
（2）因为，又，所以对， ．所以命题①正确；令．则，．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则．
．所以，使．所以命题③正确．
【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．
三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（17）【2013年湖南，理17，12分】已知函数，．
（1）若是第一象限角，且，求的值；
（2）求使成立的的取值集合．
解：，．
（1）由得．又是第一象限角，所以．从而
．
（2）等价于，即．于是．
从而，即，
故使成立的的取值集合为．
点评】本题给出含有三角函数的两个函数、，求特殊函数值并讨论使成立的的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
（18）【2013年湖南，理18，12分】某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指
纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，
一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的 “相近” 作物株数X之间的关系如下表所示：

1
2
3
4

51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近” 的概率；
（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
解：（1）所种作物总株数，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为
12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种，选取的两株作物恰好
“相近”的不同结果有种，故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好
“相近”的概率为．
（2）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量的分布列，
因为：；；
所以只需求出即可，记为其“相近”作物恰有株的作物株数（）则
由得：；；；
，故所求的分布列为

所求的数学期望为： ．
【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
（19）【2013年湖南，理19，13分】如图，在直棱柱．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）如图，因为平面，平面，所以，又因为，
所以平面，而面，所以．
（2）因为，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角
（记为），如图，连接，因为棱柱是直棱柱，且，
所以平面，从而，又，所以四边形是正方
形，于是，故平面，于是，由（1）知，，
所以平面，故，在直角梯形中，因为，所以
，从而，故，即，连接，易知
是直角三角形，且，即，
在中，，即，从而，
即直线与平面所成角的正弦值为．
解法二：
（1）易知，两两垂直．如图，以为坐标原点，所在直线分别为
x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设，则相关各点的坐标为：，
．，，
．因为，所以．解得或(舍去)．
于是，．因为，所以，即．
（2）由（1）知，，，．设是平面的一个法向
量，则即，令，则．设直线与平面所成角为，
则．即直线B1C1与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．
（20）【2013年湖南，理20，13分】在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径成为到的一条“路径”．如图所示的路径都是到的“路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点处．现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心．
（1）写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（2）若以原点为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“路径”不能进入保护区，请确定点的位置，
使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
解：设点的坐标为．
（1）设点到居民区的“路径”长度最小值为．
（2）有题意知，点到三个居民区的“路径”长度之和的最小值为点分别到三个居民区的“路径”长度最
小值之和（记为）的最小值．
①当时，，因为 （*）当且仅当时，不等式（*）中的等号成立．又因为（**）当且仅当时，不等式（**）中的等号成立．所以，当且仅当时，
等号成立．，当且仅当时，等号成立．
故点的坐标为时，到三个居民区的“路径”长度之和最小，且最小值为45．
②当时，由于“路径”不能进入保护区，所以
，此时，，
，由①知，，故，当且仅
当时等号成立．
综上所述，在点出修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“路径”长度之和最小．
【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．
（21）【2013年湖南，理21，13分】过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆（，为圆心）的公共弦所在的直线记为．
（1）若，证明：；
（2）若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程．
解：（1）由题意，抛物线的焦点为，直线的方程为由得
设两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，从而，
，所以点的坐标为，，
同理可得点的坐标为，，于是
由题设，，，所以，故．
（2）由抛物线的定义得，，所以，从而圆的半径
，故圆的方程为，化简得：
，同理可得圆方程为：
于是圆，圆的公共弦所在直线的方程为，又，则
的方程为，因为，所以点到直线的距离
故当时，取最小值，，解得，故所求的抛物线的方程为．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．
（22）【2013年湖南，理22，13分】已知，函数．
（1）记在区间上的最大值为，求的表达式；
（2）是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存
在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，；当时，，因此，当时，，
在上单调递减；当时，，在上单调递增；
①若，则在上单调递减，；
②若，则在上单调递减，在上单调递增．所以，而
，当时，；当时，．
综上所述，．
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求．当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在，使曲线在两点处的切线互相垂直，则，且，即，
亦即 （*）由得，，
故（*）成立等价于集合与集合的交集非空．
因为，所以当且仅当，即时，．
综上所述，存在使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．
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