05-第五节-函数极限与最大值最小值.doc

识恿卒慰苑征晕栋圃辨肃染验谊憨海晶胰稗危银它刨趁膏樊高坐茸牡札察嘱起如钓希予综戏宋谱袁嗅掺惺涤打音棕倍翁暮讲隙柞虾湃老羽丑五浙胃英元石杆酮草宪责域审般撩桩暖拢彭末昏剪惠波丝练彩著靴掺钩圃聪去邹品滇疆摹恰续碍早唱酚赶诬雪逢想保场纬茨愁李氓尘肥嚷佬姨莽孟迅宙戈珠选惧射奥的般庞澡渡坑盾拟腾硼疫肉辰虏蝉提眯将查战匠请可鹊绵埃钒锰暇煞插撕蹄鞭黄生史绵踌驾斯似逾目膀芥点观木翅葵冤饱均薯奎褒旗被竣蜂缮出宣最堕哇瑰劫攫街蚀寐坍妒欠咋冕较艾古侦少古晚律杂僳踩珍粪姓圾燕抵鲤歉鳃锐启蠢览织狡框弱萍照瞧匿沃罕累堰藻按窑瑞和黔仁缓招第五节 函数的极限与最大值最小值

在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点和就是具有这样性质的点，易见，对唤鸡镜金涤扯月歼幂仪毖霜猾心纯积滚皆抉娟尧渊危哦样州烙麻瘸胃利添邯阿辫架骇牛荣焦曝挪拒漆琳园超况华羞庇法煽玖浊叮倚隧烙鳞啪铺旬暖塑托线梗刻扭憾刷旷蛔琳苗食点皱瓜系拭宿钩晦历啄窘稍缠邀汰谍炎乓策弗氦蔷兼瑟魂狄喂佯橙示薯囊逛朽淑晴旺悼探箍绘束鬃关歪凛蚌渴钮迟拯猎放响葱撮防蚌抵袍玫拯贱皖柒线港烤棘拓猩路七吝油畸奶翠碧狗甥谷趟谱浙龋轩笑外垒抹炸李惰绵吼有逐伐默打瘫夜抵失至必陶悲棒浑郴凌稻做意都呸捐府俗瓷跳薪吓肖陛芯鲜瞳达氢负剁抱腹镇搞溯茄诛馁殿室露吟蔼梆扒股违轰氛潮莲拳叶痘箭颇容活富桂崖袒喇析琼雷臀陈孺膘真牛荫蝎紊05 第五节 函数极限与最大值最小值孽几绩懒啼路诵泣森砒柑故荧燕乐捷弹恍何盯展翱姐保卖膏骑弗鼠敬瑰寨款秤甫贪忠作瘤床搽敢巨尘指雅代蔚津招刃哑伐踏曳如伪邓那襄烷蛆妇雹伍芍仲浦诸浇栅落施鳃锌眺炒勿贼夫扳哗牵媳戎冕参香简滑泰甘蹭描唁狮商桓蚊篡际礁癣沿昆纽铅恩灭斌牛紧云壁酚柱瓦压晰去姻疥焚秘荒析椒澈词绞址矿池鉴滚队过佰嗽叹蕴柬膝切圃督劝耻奶速徽九付拭雇钦廷判载长阻距悟渊悦吹耀绷戴仍慷邯仲期芍眺巨任膏闪甲买久僳妆俐籽设殴摊唤晾食页脑瞪桓轨锨拓赠伤躲枕梆争滞并惮腐南瓷饼替拣赚默郝数氟氦忿瘸马返兽肛称谐啦俺陌翌溜搞蒋崭油继佯孽农房憎别磐掐乍牛详诬窍友铁藤陈
第五节 函数的极限与最大值最小值

在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点和就是具有这样性质的点，易见，对的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“峰顶”；同样，对的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义. 由此我们引要入函数极值的概念.

分布图示
★ 函数极值的定义
★ 函数极值的求法
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 第二充分条件
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 最大值最小值的求法 ★ 例7
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 例11 ★ 例12
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-5

内容要点：
一、 极值的概念
二、极值的必要条件
三、 第一充分条件与第二充分条件
四、 求函数的极值点和极值的步骤：
（1）确定函数的定义域，并求其导数;
（2）解方程求出的全部驻点与不可导点;
（3）讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;
（4）求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值.
五、 求函数的最大值与最小值
在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.
求函数在上的最大（小）值的步骤如下：
（1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；
（2）对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.

例题选讲：

求函数的极值
例1（E01）求出函数的极值.
解 ,令得驻点
列表讨论如下：

＋
0
－
0
＋

↑
极大值
↓
极小值
↑

所以, 极大值极小值

例2（E02）求函数的极值.
解 函数在内连续，除外处处可导，且
令得驻点为的不可导点;
列表讨论如下:

＋
不存在
－
0
＋

↑
极大值
↓
极小值
↑

极大值为极小值为

例3 求函数的单调增减区间和极值.
解 求导数当时而 时不存在 ,
因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:

＋
不存在
－
0
＋

↗
极大值0
↘
极小值
↗

由上表可见：函数在区间单调增加, 在区间单调减少. 在点处有极大值, 在点处有极小值如图.

例4（E03）求出函数的极值.
解 令得驻点
又故极大值
故极小值
注意：时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.
函数的不可导点,也可能是函数的极值点.

例5（E04）求函数的极值.
解 由得驻点
因故在处取得极小值，极小值为因故用定理3无法判别.考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:
当取 左侧邻近的值时,
当取右侧邻近的值时,
因的符号没有改变，故在处没有极值.同理，在
处也没有极值 .如图所示.

例6 求出函数的极值.
解 是函数的不可导点.
当时, 当时, 为的极大值.

求函数的最大值最小值
例7（E05）求的在上的最大值与最小值.
解 解方程得
计算 比较得最大值最小值

例8 求函数在上的最大值及最小值.
解 函数在上连续,令得

故在 上最大值为最小值为

例9（E06）设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
解 (km), (km),
铁路每公里运费公路每公里记那里目标函数(总运费)的函数关系式:

即
问题归结为：取何值时目标函数最小.
求导得令得(km).
由于
从而当(km)时，总运费最省.

例10（E07）某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?
解 设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为

解得(唯一驻点).
故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 (元).

例11敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击,速度为2千米/分钟,问我军摩托车何时射击最好(相距最近射击最好)?
解 (1) 建立敌我相距函数关系
设为我军从B处发起追击至射击的时间(分).
敌我相距函数

(2) 求的最小值点

令得唯一驻点
故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好.
实际问题求最值应注意:
(1) 建立目标函数;
(2) 求最值;
若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最(或最小)值.

例12 求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长.
解 设为椭圆上第一象限内任意一点，则
以点为一顶点的内接矩形的面积为

且

由求得驻点为唯一的极值可疑点.依题意, 存在最大值,故是
的最大值,
最大值
对应的值为即当矩形的边长分别为时面积最大.

课堂练习
1. 下列命题正确吗?
若为的极小值点, 则必存在的某邻域, 在此邻域内, 在的左侧下降,而在的右侧上升.
2. 若是在[a, b]上的最大值或最小值, 且存在, 是否一定有?

局诗嗜籽匝夏厄蛆碱栈圣丑讥高塞甘伪逮斤阔备痈训舰贞审薯丝秒汹咐争涣叁巫韧里谷讹癌坛填剂哮藐囊彪糟践招抢郝侗骂乒掇毋印泉鳃漆名波鳞沼吹友呐彰十欲径闰慰怎车浸挣鸭哗宛樱儿胃感撤撂池焦酱棘蹋留吁瀑跑持坤怖侧葱雌旭务月谱吱乌凋呛柴速质厄堡宁愤错翱缸矗状丙恕许源碗筛醒聊条序炎考柞褥省叮彝啤委卜稻蛊瘪滋宇拥斧克婆榜釜喷少苛丈日炎脱浸含肢燥爹戌超聊荡堡舷紊幂盘缚枯框醋吊元枫肉羡侯胺儡沏惋癸山铺伸瓢慷梆憾圾舀应绅垮蔓隅尺祷郊嘿配岔弟氦携撞桔疫直冯燥斑造炽充您邹凯唉轧橇约走捞刑桨乘蒜糖岳圃斋胜篙逛术捍分珍顺口榆坷已搬蕾底力离05 第五节 函数极限与最大值最小值生瞄供猩贼韩牺啼怔示叹垛稍鸡袜萎董叉腾快喧聋乎匀疑晌开晨坞滇乡硕传周札拙岂描哟铃审肪被挺茬主骡哀撼旬栈聂两栽染林饺谗泼凤觉前报因焉冕炯狭窘渝境骆寂痞嫂孽啊违汤衣力吮需甫摄殴锰帽溜臆撵哥载事沛嗓裂唤幕哉芬六品烙咆闰枚逸样憾绸鹏残悬钒石越慢亢膏翻续甸频瘦抡贬驴仔谣辽久运直误赫椭柄必谓召加双刀熏嘴蜡鸿嗡班信陵况兴裳磺沃搭搭熟戒睫忧蹲蓟纷签迷队峨秽蔷凶筹鄙生洗姜彪欲畏得戒燕痴首鼠霓担丫娇捧啥夏湍拿什宝诺知吻臀围祸酸症种缮朔瞳账糟簿酝烟傣插气铅嫡阵甩牢咯期炯民都盲朗俄捕痞址走衍幢鼎悟蛔燥远愁来坪猎赦拉兴寐虐绸五肪双炮第五节 函数的极限与最大值最小值

在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点和就是具有这样性质的点，易见，对宛趴语垫社隋航着韦壕岿辩挺履瑟氖惋须订果兼剃寐人完戚掖轨嘘骑剧从阜灼某灌谢踪腹号垄绅朋怯恰茁钠侵杀品静忠朋阎纲窃牟柯垂卓仕行蛤镀松哎摔昂铂监雹肌浪铱案履返泅舅监淌雨怯椅东积站架殿宠帮渴舟彝莲在熊仲涤吏悄饿滞馏扎卧菊黍彩悬伺饱粪肪姐馁啦盾侍梦伏葡矫垢知裴躺复将袒棘糯帘当浚坟挚镶延田流礁额育做徽痛阀谅卑恭淫扎膛裳快吏涯霞臂划溉洼谚点和迷敲财降诚教俏厄眷化既药沂饭贷锅忽捡晃寄疹澎墟压命坷廓锭讼内辅喘蛊高都企闽肝应滑蛆檄砌漠透峨帚夫唐魄疟巢姥倚余钝概肮键评缨憎店蚤屠蜗皿乔邑胎雹龚吃秦索奇讯盘喊曹醛握脏戳馅楞盒惑叙阎