辽宁省丹东市四校协作体届上学期高三级摸底测试零诊数学试卷理科.doc

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辽宁省丹东市四校协作体2012届上学期高三年级摸底测试（零诊）数学试卷
（理科）

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知△内角A、B、C所对的边长分别为，若，，，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则其全面积是
（A）
（B）
（C）8
（D）12
（4）已知是△所在平面上任意一点，若，
则△一定是
（A）直角三角形 （B）等腰直角三角形
（C）等腰三角形 （D）等边三角形
（5）若是自然对数的底数，则
（A） （B） （C） （D）
（6）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测
评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平
均成绩超过甲的平均成绩的概率为
（A） （B） （C） （D）
（7）已知，，那么
（A） （B） （C） （D）
（8）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列5个命题：
①若，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，则；
⑤若，，，则．
其中正确命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（9）设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若数列
是等差数列，且，则的值
（A）恒为正数 （B）恒为负数 （C）恒为0 （D）可正可负
（10）已知实数、满足约束条件，若使得目标函数取最大值时有唯一最优解，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（11）函数的值域是
（A） （B
（C） （D）
（12）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）复平面内，复数（是虚数单位）对应的点在第 象限；
（14）执行右边的程序框图，若输入时，那么输出的 ；

（15）在△中，若，，，则
的角平分线所在直线的方程是 ；

（16）已知数列中，，，

……

，，则右图
中第9行所有数的和为 ．

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知是函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）作出函数在上的图象简图（不要求书写作图过程）．

（18）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面．
（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成角是，锐二面角的平面角是，试判断与的大小关系，并予以证明．

（19）（本小题满分12分）
如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到
正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是．记小球遇到第行第个
障碍物（从左至右）上顶点的概率为．
（Ⅰ）求，的值，并猜想的表达式（不必证明）；
（Ⅱ）已知，设小球遇到第6行第个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为，试求的分布列及数学期望．

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，一个焦点是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点．试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过定点？证明你的结论．

（21）（本小题满分12分）
已知，设函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若是自然对数的底数，当时，是否存在常数、，使得不等式对于任意的正实数都成立？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O是△的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）求证：CD=DE·DB；
A
C
B
O．
E
D
（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原
点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，求．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设正有理数是的一个近似值，令．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）求证：比更接近于．

方法3：∵，∴最值是，
………………（2分）
∵是函数图象的一条对称轴，∴，
………………（4分）
∴，
整理得，∴； ………………（6分）

（II）方法1：连接CD，则由（I）知是直线AC与平面A1BC所成的角，
………………（8分）
是二面角A1—BC—A的平面角，即，
………………（10分）
在Rt△ADC中， ，在Rt△ADB中，，
由AC AB，得又所以
………………（12分）
方法2：设AA1=a，AB=b，BC=c，由（I）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B(0，0，0)， A(0，b，0)，C(c，0，0)，，b，a)，
∴(c，0，0)，( 0，b，a)，…………（7分）
( c，-b，0)，设平面A1BC的一个，

（19）（本小题满分12分）
解：（I） ， ………………（2分）
， ………………（4分）
猜想； ………………（6分）
（II）3,2,1， ………………（7分）
，
，

3
2
1

………………（10分）
． ………………（12分）
（20）（本小题满分12分）
解：（I）方法1：椭圆的一个焦点是 ，

（II）方法1：当点在轴上时，、分别与、重合，
若直线通过定点，则必在轴上，设，………………（6分）
当点不在轴上时，设，、，，
直线方程，方程，
代入得，
解得，，
∴， ……………（8分）
代入得
解得，，
∴， ………………（10分）
∵，
∴，
∴，，
∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．
……………（12分）
方法2：直线恒经过定点，证明如下：
当斜率不存在时，直线即轴，通过点，……………（6分）
当点不在轴上时，设，、，，

方法3：∵、、三点共线， 、、三点也共线，
∴是直线与直线的交点，
当斜率存在时，设：，代入，
得，，，
直线方程，直线方程，
分别代入，得，，
∴，即，
，
∴对任意变化的都成立，只能，
∴直线，通过点
当斜率不存在时，直线即轴，通过点，……………（10分）
∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．
……………（12分）
（21）（本小题满分12分）

设，

+
0
-

极大值

∴当时，函数取得最大值，∴恒成立；
………………（10分）
∵，
∴在时恒成立；
∴当时，，． ………………（12分）
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
（I）证明：∵，
∴，又，
∴△～△，∴，
∴CD=DE·DB； ………………（5分）

（II）解：连结OD，OC，设OD交AC于点F，

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
证明：（I）
∵，∴，而，
∴； ………………（5分）
（II）∵
，
∵，，，
∴，即，
∴比更接近于． ………………（10分）
年级
高三
学科
数学
版本

期数

内容标题
辽宁省丹东市四校协作体2012届上学期高三年级摸底测试（零诊）数学试卷（理科）（通用版）
分类索引号
G.622.46
分类索引描述
统考试题与题解
主题词
辽宁省丹东市四校协作体2012届上学期高三年级摸底测试（零诊）数学试卷（理科）（通用版）
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