福建省德化一中2021年春高二年第三次质检数学理科试卷-Word版含答案.docx

2021年春德化一中期末考试高二数学（理）试卷
卷面总分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中．）
1.已知为虚数单位，，则的共轭复数=(　　)
A. B. C. D.
2. 设随机变量听从正态分布，则 =(　　)
A.     B．       C．1－2         D. 1－
3. 函数已知时取得极值，则= ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4. 某一批花生种子，假如每1粒发芽的概率为，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是(　　)
A. B. C. D.
5. 用数学归纳法证明不等式： （，），在证明这一步时，需要证明的不等式是（ ）
A． B．
C．
D．
6. (x－)6的开放式中的常数项为（ ）
A．240 B．-240 C．72 D．－72
7. 从共个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被整除的有(　　)
A.个 B.个 C.个 D.个
8. 已知，，由下列结论，，，…，得到一个正确的结论可以是(　　)
A. B. C. D.

9.若，则等于( )
A、－14 B、448 C、－1024 D、－16
10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=( )
A. B. C. 3 D. 2
11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．　　 Ｄ．
12. 设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心．争辩函数
的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到
的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6道题，每小题5分，共30分）
13.曲线与直线所围成的区域的面积为 .
14.某地区恩格尔系数（表示生活水平凹凸的一个指标）与年份的统计数据如下表:
年份

恩格尔系数

从散点图可以看出与线性相关，且可得回归直线方程为，据此模型可猜想年该地区的恩格尔系数为 ．
15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，大事A=“取到的2个数之和为偶数”，大事B=“取到的2个数均为偶数”，则
16.一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为.设发病的牛的头数为,则等于
17．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得
于是，
运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是

18. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现支配2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 .
三、解答题（本大题共5道题，共60分）
19、（本小题满分12分）
已知函数,关于的不等式的解集为［-1,5］
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)若实数满足，求的最小值．

20.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
已知曲线（为参数），（为参数）.
（Ⅰ）化，的方程为一般方程，

（Ⅱ）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线距离的最小值.

21.（本小题满分12分）
为了分流地铁高峰的压力，市发改委通过听众会，打算实施低峰优待票价制度.不超过公里的地铁票价如下表：
乘坐里程（单位：）

票价（单位：元）

现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里.已知甲、乙乘车不超过公里
的概率分别为，，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为， .
（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．

22. (本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；

（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.

23. (本小题满分12分)
已知函数，其中为实数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围.
（3）证明，对于任意的正整数，不等式
恒成立.

2021年春德化一中期末考试高二数学（理）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
CBDCD ABDBA DA
二、填空题（本大题共6道题，每小题5分，共30分）
13. 14. 25.25 15. 16. 0.196 17. 18. 346
19、（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由得： 即
(Ⅱ)依据柯西不等式得：
∵， ∴,
当，即时取等号 ∴的最小值为
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）当时， 故
为直线 到的距离
从而当时，取得最小值
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率
所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率
（Ⅱ）由题意可知， 则

所以的分布列为

则
22. （本小题满分12分）
解：（1）由，设，则，，
所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即， 所以椭圆的方程为
（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，
由点的坐标为，所以，直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，解得，
又过原点，于是，，所以直线的方程为，
所以点到直线的距离，
（3）假设存在点，使得为定值，设，
当直线与轴重合时，有，
当直线与轴垂直时，，
由，解得，，
所以若存在点，此时，为定值2.
依据对称性，只需考虑直线过点，设，，
又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，
化简得，所以，，
又，
所以，
将上述关系代入，化简可得.
综上所述，存在点，使得为定值2
23 （本小题满分12分）
解：（1）
当时，在上递减，在上递增
当时，在，上递增，在上递减
当时，在上递增
当时，在，上递增，上递减
（2）由（1）知当时
当时，不恒成立
综上：
（3）由（2）知时，恒成立

当且仅当时以“=”
时，

……