重庆市2022届高三上学期第三次月考-数学理-Word版含答案.docx

第三次月考数学理试题

本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷（选择题），第II卷（非选择题），满分150
分，考试时间120分钟。
留意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必需使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必需使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．全部题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为
A． B． C． D．
2．函数的一条对称轴方程是
A． B． C. D．
3. 已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为
A． B． C． D．
4. 双曲线的左右准线将线段三等分，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
5. 若圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则圆的方程
A. B.
C. D.
6. 如图，已知点是抛物线的焦点，直线为准线，点是抛物线上一点．以点为圆心，为半径作圆交抛物线的准线于点．若三点共线，则
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增，则的最大值为
A． B． C． D．
8. 函数的最小值为
A. B. C. D.
9. 已知圆的圆心为，由直线上任意一点引圆的一条切线，切点为，若恒成立，则实数的取值范围为
A． B. C. D.
10. 已知为椭圆的左右顶点，为椭圆的右焦点，为椭圆上异于的任意一点，直线分别交椭圆的右准线于点，则面积的最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）
（一）必做题（11~13题）
11. 若向量的夹角为且，，则________．
12. 若正项数列的前项和满足，则通项_____．
13. 已知（为自然对数的底），．若对任意都有，则实数的取值范围为_________．
（二）选做题（14~16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数）
14.如图，割线经过圆心，，又交圆于，且，则的面积为________．
15.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线：与曲线（为参数）相交于点，则________．
16.已知函数，若对于任意恒成立，则实数的取值范围为________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求和：．

18. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点的直线交圆心的轨迹于点，且，求直线的方程．

19. （本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
20. （本题共12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分）
已知在中，角的对边分别为．
（Ⅰ）若，求角；
（Ⅱ）若为的最大内角，且，求的周长的取值范围．
21. （本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）
如图，已知离心率为的椭圆过点，为坐标原
点，平行于的直线交椭圆C于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线与x轴分别交于点
，证明：为等腰三角形．

22. （本题共12分，第（Ⅰ）问3分, 第（Ⅱ）问4分, 第（Ⅲ）问5分）
设是含有个正整数的集合，假如中没有一个元素是中另外两个不同元素之和，则称集合是级好集合．
（Ⅰ）推断集合是否是级好集合，并说明理由；
（Ⅱ）给定正整数，设集合是好集合，其中为正整数，试求的最大值，并说明理由；
（Ⅲ）对于任意级好集合，求集合中最大元素的最小值（用表示）．

数学（理科） 参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
B
B
C
A
A
C
A
B
第10题提示：
易证，故可设
，
则
.

二、填空题
11. 12. 13.
14. 15. 16.

三、解答题
17. （I）设公差为，公比为，则有
从而有.
（II）由得且，
则原式.

18. （Ⅰ）设圆心，点到轴的距离为，则
由即
化简得，即为所求轨迹方程.
（Ⅱ）焦点,设.
若轴，则，所以直线的斜率存在.
设直线的方程为
由
消去得：

所以直线的方程为或.

19.（Ⅰ）.
令，得，因此函数的单调递增区间是.
令，得，因此函数的单调递减区间是
（Ⅱ）依题意， ，由（Ⅰ）知，在上是增函数，.
，即对于任意的恒成立.
解得.
所以，的取值范围是.
20.（Ⅰ）

；
（Ⅱ）

令，由得
则，
从而.
21. 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为:.
由题意得: ∴ 椭圆方程为．
（Ⅱ）由直线,可设 代入椭圆得:
设,则
设直线、的斜率分别为、，则
下面只需证明：，事实上：

故直线、与轴围成一个等腰三角形．
22.（Ⅰ）该集合是级好集合。
理由：该集合中个元素均为奇数，而任个不同元素之和均为偶数，因此该集合中没有一个元素是另外两个不同元素的和。
（Ⅱ）的最大值为
证明：当=时，集合中最小的两个元素之和为，因此集合中任意两个不同元素之和的最小值为，而此时集合中最大元素为，因此集合中任意元素不行能为任意两个不同元素之和，所以=时，集合是好集合。
当时，集合中的元素等于另外两个不同元素和的和，此时集合不是好集合。
综上，的最大值为．
（Ⅲ）集合中最大元素的最小值为
证明：当集合中最大元素为时，集合可以为，该集合中有个元素，由（Ⅱ）可知该集合为好集合；
若集合中最大元素为，且，则将分组
① 为奇数，分组如下：……，（，），共组，
n—2，由于中有个元素，所以需要在以上组选出个数，则必有两个数在同一组，这两个数之和为，则集合中的元素必可表示为其他两个不同元素之和，不是好集合。
② 为偶数，则有，此时分组如下：……，（，
），（），共组，，由于中有个元素，所以需要在以上组选出个数，则必有两个数在同一组，这两个数之和为，则集合中的元素必可表示为其他两个不同元素之和，不是好集合。
综合①②，集合中最大元素小于等于时，集合必不是好集合.
综上，集合中最大元素的最小值为.