江苏省宿迁市沭阳银河学校2021届高三上学期12月月考-数学-Word版含答案.docx

沭阳银河学校2022-2021学年度第一学期12月月考
高三班级数学试卷
（考试时间：150分 试卷满分160分）
一、填空题：（ 共14小题，每小题5分，共70分）
1、已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝
2、若复数满足：，则在复平面内，复数z对应的点坐标是
3、阅读下面的流程图，若输入a＝10，b＝6，则输出的结果是 ．
4、某校从高一班级同学中随机抽取部分同学，将他们的模块测试成果分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图1－1所示的频率分布直方图．已知高一班级共有同学600名，据此估量，该模块测试成果不少于60分的同学人数为

5、盒中装有外形、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．

6、等差数列中，其前项和，若，
则的值为 .
7、已知实数满足且目标函数 的最大值是，则的最大值为
8、函数 (的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，则=
9、函数 （，则“”是“函数为奇函数”
的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）

10、将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=，则三棱锥D-ABC的体积为__________.
11、过点(，0)引直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于
12、设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为
13、已知上的可导函数的导函数满足：，且则不等式的解是 ．
14、在平面四边形中，点分别是边的中点，且，．若 ，则的值为 ．
二．解答题（共六大题，90分）
15、(本小题满分14分) 中，角所对的边分别为
且． （I）求角的大小；
（II）若向量，向量，且，，
求的值．

16、（本题满分为14分）已知直三棱柱的底面中,,,,是的中点，D是AC的中点 ，是的中点 ,

B
M
C
D
O
A
(1)证明：平面； （2）试证：

17、（本小题满分14分）已知函数（）.
(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；
(II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围.

18、（本题满分为16分）
一根水平放置的长方体形枕木的平安负荷与它的宽度成正比，与它的厚度的平方成正比，与它的长度的平方成反比.
(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的平安负荷如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的平安负荷分别为且翻转前后的比例系数相同，都为同一正常数）
(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为为多少时，可使平安负荷最大？
a
d

d

19、（本题满分为16分）椭圆 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为
(1)求椭圆C的方程；

(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为k的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，
试证明:为定值，并求出这个定值．

20、（本小题满分16分）已知，
（Ⅰ）对一切，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数在 上的最值；
（Ⅲ）证明：对一切，都有成立。

高三数学12月月考试卷参考答案
一．填空题
1、 {－1，0} 2.(4，－2) 3. 2 4. 480 5. 6. 3 7. 8. 3
9. 充要 10. 11.－ 12. 13. 14. 13.5
二．解答题
15．解：（I）∵
∴， ……………2分
∴，∴或……………5分
∴ ……………7分
（II）∵ ∴，即………………8分
又，∴，即② ………10分
由①②可得，∴ ………………………………13分
又∴，∴…………14分

16.证明：(1)连,为中点，为中点，,…………2分
又平面,平面,平面………………6分
(2) 直三棱柱 平面
平面,……………………7分
又,平面 平面 , 平面 …………………………………………… 9分
在与中，
∽
………12分
平面 平面 ，
平面…………………14分

17.解：(I) ∵（）,
∴在上是减函数，……………2分
又定义域和值域均为，∴ ，……………4分
即 ， 解得 .……………6分
(II) ∵在区间上是减函数，∴，……………8分
又，且，
∴，.……………11分
∵对任意的，，总有，
∴， ……………13分
即 ，解得 ，
又， ∴. ……………14分

18.
a
d

d

解：（Ⅰ）平安负荷为正常数）翻转，…2分
，
当时，平安负荷变大. …………4分
当 ，平安负荷变小；…………6分
当时，平安负荷不 变. ……………7分
（II）如图，设截取的宽为，厚度为，则.
= （…9分
令 得：
当时 函数在上为增函数；
当时 函数在上为减函数；
当 时，平安负荷最大。…………14分，此时厚度…………15分
答：当问截取枕木的厚度为时，可使平安负荷最大。…16分
（说明：范围不写扣1分）

19、解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，
得y＝±.由题意知 ＝1，即a＝2b2. ……………2分
又e＝＝， ………… …4分
所以a＝2，b＝1. ……………5分
所以椭圆C的方程为＋y2＝1. ……………6分
(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立 ………………8分
整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.
由题意Δ＝0，
即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0. ………………10分
又＋y＝1，
所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，
故k＝－. ……………12分
由(2)知＋＝＋＝， ……………15分
所以＋＝＝·＝－8，
因此＋为定值，这个定值为－8. ……………16分

20.
解：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立.………2分
令 ，
则，……3分
在上，在上，因此，在处取微小值，也是最小值，即，所以.……5分
（Ⅱ）当 ，
，由得. ………6分
①当时，在上，在上
因此，在处取得微小值，也是最小值. .
由于
因此， ………8分
②当，，因此上单调递增，所以，…10分
（Ⅲ）证明：问题等价于证明,………12分
由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，..14分
设，则，易知
，当且仅当时取到，
但从而可知对一切，都有成立.…16分