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线
封
密
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
满 分
20
5
10
15
10
10
15
15
100
得 分
注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外
2、不得有姓名及相关标记.
得分
评阅人
一、填空（每小题5分，共20分）.
(1)计算= .
(2)设在连续，且存在，则= .
(3)若，则 .
(4)已知的一个原函数为，则= .
（1）. (2) 3 . (3) . (4).
得分
评阅人
3、
二、（5分）计算，其中
.
解：=+ -------- 2分
=+ -------------4分
= -------------5分.
得分
评阅人
三、（10分）设，其中具有二阶
导数，求.
解：---------------3分
-----7分
=---------10分.
得分
评阅人
4、 四、（15分）已知，求的值.
解：---------3分
令，所以
---------6分
=------------7分
=，-----------9分
由，故=，-----------12分
即=0-----------13分
亦即-------------14分
所以 -------------15分.
得分
评阅人
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五、（10分）求微分方程 满足条件 的特解.
5、
解：原方程可化为
-----------2分
这是一阶线性非齐次方程，代入公式得
----------4分
=----------5分
=-----------6分
=.---------------7分
所以原方程的通解是.----------8分
再由条件，有，即，-----------9分
因此，所求的特解是.----------10分.
得分
评阅人
六（10分）、若函数在内具有二阶导
数，且，其中，证明：在内至少有一点，使。
证：由于在内具有二阶导数，所以在上连续，
在内可导，再根据题意，
由罗尔定理知
6、至少存在一点，使=0；--------3分
同理，在上对函数使用罗尔定理得至少存在一点，使=0；---------6分
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对于函数，由已知条件知在[，]上连续，在（，）内可导，且==0，由罗尔定理知至少存在一点（，），使，而，），故结论得证----------10分.
得分
评阅人
七、（15分）已知曲线和直线 ，围成平面图形.
7、
（1）求平面图形的面积；
（2）求绕轴旋转所成立体的体积.
解：（1）-----------2分
-----------4分
-----------5分
（2）因为，-----------6分
所以-----------9分
=------------11分
=-----------13分
= .--------------15分.
得分
评阅人
八、（15分）设有连续的一阶偏导数，又函数 及分别由下列两式确定：
和，求.
解：， （1）---------4分
由两边对求导，得
=0，--------------7分
即 ---------------9分
又由两边对求导，得
，-----------11分
即 -----------13分
将其代入（1）式，得 .-----------15分.
只供学习与交流
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