【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：B8幂函数与函数的图象.docx

B8 幂函数与函数的图象

【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】10. 如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为 （ ）

【学问点】函数的图像B8
【答案解析】C ：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，
∴AP=，MN=，即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆以及线段GH，FE，RT，LK，部分．∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，即周长=2π×+2(2x--)+2(x--)=π+4x-2+2x-2=6x+π-4，面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为2x•x-π×()2=2x2-，∴f（x）=6x+π-4-(2x2-)=-2x2+6x+-4，是一个开口向下的抛物线，∴对应的图象为C，故选：C．
【思路点拨】依据条件确定点P，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f（x）的表达式，然后依据函数表达式进行推断图象即可．

【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】15. 设函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的范围是 .
【学问点】函数的图象．B8
【答案】【解析】 解析：当时.图象如下图一, 当时.图象如下图二,

据图知的图象有三个不同交点,则满足
【思路点拨】争辩a的取值范围，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211） (1)】13．若函数是幂函数，且满足，则 的值等于 ▲ ．
【学问点】幂函数B8
【答案解析】 设f（x）=xa，又f（4）=3f（2），∴4a=3×2a
解得：a=log23，∴f（）=()log23= ．故答案为：．
【思路点拨】先设f（x）=xa代入题设，求出a的值，求出函数关系式．把代入函数关系式即可．

【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】9y
x

O
y
x

O
y
x

O
y
x

O
A．
B．
C．
D．
.函数的图象是（ ）

【学问点】函数的图像B8
【答案解析】A ∵令f（x）=lncosxf（-x）=lncos（-x）=lncosx=f（x），
所以f（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，当x=60°时，y=lncos60°=ln＜0，故选A．
【思路点拨】利用偶函数的定义推断出函数是偶函数，据偶函数的图象关于y轴对称排解选项B，D；令x=60°时函数值小于0得到选项．

【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点动身沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在方向的投影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
【学问点】函数的图象．B8
【答案】【解析】C 解析：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为，连接BG，可得，即∠BGM= ，所以tan∠BGA= ，由图可得当x= 时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排解A，B两个选项；
又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排解D，C是适合的；故选：C．
【思路点拨】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再争辩点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．
【典例剖析】由于本题的函数关系式不易获得，可实行特值法，找几个特殊点以排解法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．

【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】3.函数的大致图像是 （ ）

【学问点】函数图像，奇偶性B8 B4
【答案】【解析】B 解析：由函数解析式可得 为偶函数， 即 ， 图像取 轴上方部分；当 时， ，其图像在第一象限单调递减，所以选B.
【思路点拨】对于分段函数的图像，分别依据不同的定义域画出各段的图像，再依据函数的奇偶性即可得到图像.

【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】13．若函数是幂函数，且满足，则 的值等于 ▲ ．
【学问点】幂函数B8
【答案解析】 设f（x）=xa，又f（4）=3f（2），∴4a=3×2a，
解得：a=log23，∴f（）=()log23= ．故答案为：．
【思路点拨】先设f（x）=xa代入题设，求出a的值，求出函数关系式．把代入函数关系式即可．

【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】8. 已知函数，则函数的大致图像为（ ）

【学问点】函数的图象与图象变化．B8
【答案】【解析】B 解析：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排解选项A、C，又当x=﹣1时，函数值等于0，故排解D，故选 B．
【思路点拨】由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排解A、C，由x＞0时，函数值恒正，排解D．