【2021届备考】2021届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期)：N单元选修4系列.docx

N单元选修4系列
名目
N单元选修4系列 1
N1 选修4-1 几何证明选讲 1
N2 选修4-2 矩阵 2
N3 选修4-4 参数与参数方程 3
N4 选修4-5 不等式选讲 6
N5 选修4-7 优选法与试验设计 7

N1 选修4-1 几何证明选讲

【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】14．如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，，则=。
【学问点】切割线定理；直角三角形的性质. N1
【答案】【解析】解析：设圆O的半径为R，则由切割线定理得
1，则OP=2，连接OA ，由于△OAP是直角三角形，AP 是斜边中线，所以AB=BO=OA=1，所以∠OAB=60°，所以=.

【思路点拨】由切割线定理求得圆的半径，再由直角三角形的性质求出∠PAB.

【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】15．（选修：几何证明选讲）
如图，为△外接圆的切线，平分，交圆于，
共线．若,,，则圆的半径是
【学问点】与圆有关的比例线段N1
【答案】【解析】解析：如图所示，连结，∵为圆O的切线，
，为的平分线，
，，
又，．
由，得．在中，，是圆O的直径，且直径，∴圆O的半径为2．故答案为：2．
【思路点拨】连结AD，由PB为圆O的切线，得，结合为的平分线，可得，在中，由，得，由与的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．

【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试（202212）】22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知在中，是上一点，的外接圆交于，．
（1）求证：；
（2）若平分，且，求的长.
【学问点】选修4-1 几何证明选讲N1
【答案】（1）略（2）1
【解析】（1）连接，∵四边形是圆的内接四边形，
∴，又，
∴∽，∴，
又，∴
（2）由（1）∽，知，
又，∴，
∵，∴，而是的平分线∴，
设，依据割线定理得
即，解得，即．
【思路点拨】利用相像比例关系证明，再依据割线定理得

N2 选修4-2 矩阵

N3 选修4-4 参数与参数方程

【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为(为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为。
【学问点】极坐标与直角坐标互化；参数方程与一般方程互化；两点间距离公式. N3
【答案】【解析】解析：点M的直角坐标为（4,4），曲线C的一般方程为：
，曲线C是圆.M到圆心(1,0)的距离为，所以点M到曲线C上的点的距离的最小值为.
【思路点拨】把点M的极坐标化为直角坐标，曲线C的参数方程化为一般方程，知曲线C是圆.依据M到圆上点的距离的最小值是：M到圆心距离减去半径得结果.

【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】16．（选修：坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是
【学问点】简洁曲线的极坐标方程，参数方程化成一般方程N3
【答案】【解析】解析：由曲线的参数方程是，平方相减可得，
曲线的极坐标方程是，开放得，化为，
联立，化为，得或，或
此两曲线交点间的距离为，故答案为：.
【思路点拨】由曲线的参数方程是，平方相减可得，曲线的极坐标方程是，开放得，化为，联马上可求出两交点坐标，利用两点间距离公式即可求解.

【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】22. （本小题满分10分）
在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为.
(1)若直线与曲线C有公共点，求的取值范围：
(2)设为曲线C上任意一点，求的取值范围.
【学问点】参数方程极坐标方程N3
【答案】(I)；(2).
【解析】解析：(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为直线l的参数方程为将代入整理得直线l与曲线C有公共点，的取值范围是
(II)曲线C的方程可化为其参数方程为为曲线上任意一点，的取值范围是
【思路点拨】（1）先依据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线的参数方程，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到最终结合正弦函数的值域，即可得到的取值范围．

【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试（202212）】23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线： （为参数），：（为参数）．
（1）化，的方程为一般方程；
（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值．
【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案】（1），（2）
【解析】（1），
（2）当时，，故，
为直线，到的距离，
从而当时，取得最小值．
【思路点拨】先将参数方程转换成一般方程再利用距离公式求出最小值。

【数学文卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】11．已知直线的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：，则直线和圆C的位置关系为
【学问点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案】相交
【解析】直线l消去此时t，得直线l的直角坐标方程为y=2x+1；
由圆C的极坐标方程：，化为ρ=2(sinθ+cosθ)=2（sinθ+cosθ），
两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），化为x2+y2=2y+2x．
得⊙C的直角坐标方程为：（x-1）2+（y-1）2=2，圆心C到直线l的距离d==＜=r，所以直线l和⊙C相交．
【思路点拨】把直线的参数方程化为一般方程，把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式得出圆心代直线的距离与半径比较即可推断出位置关系．

N4 选修4-5 不等式选讲

【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】16．若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是___.
【学问点】不等式有解得条件. N4
【答案】【解析】解析：设，则函数f(x)的值域为[-3,3]，
由于不等式a≥f(x)存在实数解，所以a≥-3.
【思路点拨】关于的不等式存在实数解，则a 大于或等于|x+1|-|x-2|的最小值.

【数学理卷·2021届云南省部分名校高三12月统一考试（202212）】24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若关于的不等式有解，求的最大值；
（2）求不等式:的解集．
【学问点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案】（1）3（2）
【解析】（1）
当，所以，
，，
（2）由（1）可知，
当的解集为空集；
当时，的解集为：；
当时，的解集为：；
综上，不等式的解集为：；
【思路点拨】分段函数求出最值，依据范围求出解集。

N5 选修4-7 优选法与试验设计