2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：选修4-4-第一节坐标系.docx

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课时提升作业(七十六)
1.极坐标系中,曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1相交于点A,B,求|AB|.
2.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(3, ),半径r=3.
(1)求圆C的极坐标方程.
(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且求动点P的轨迹的极坐标方程.
3.已知半圆的直径|AB|=2r(r>0),半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T,并且|AT|=2a(2a<).
建立极坐标系证明:假如半圆上相异两点M,N到l的距离MP|,|NQ|满足|MP|=|MA|,|NQ|=|NA|,那么|MA|+|NA|为定值.
4.已知点A是曲线ρ=3cosθ上任意一点,求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值.
5.已知极坐标方程C1:ρ=10,C2:ρsin(θ-)=6,
(1)化C1,C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别推断曲线外形.
(2)求C1,C2交点间的距离.
6.已知圆C的极坐标方程ρ=2asinθ,求:
(1)圆C关于极轴对称的圆的极坐标方程.
(2)圆C关于直线θ=对称的圆的极坐标方程.

7.(2022·抚顺模拟)已知定直线l:ρcosθ=a,a>0,O为极点,Q为l上的任意一点,连接OQ,以OQ为一边作正三角形OPQ,且O,P,Q三点按顺时针方向排列,求当点Q在l上运动时点P的极坐标方程,并化成直角坐标方程.
8.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标.
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
9.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),推断点P与直线l的位置关系.
(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
10.如图,在极坐标系中,已知曲线C1:ρ=2cosθ(0≤θ≤),O1(1,0),C2:ρ=4cosθ(0≤θ≤),O2(2,0),射线θ=α(ρ≥0,0<α<)与C1,C2分别交于异于极点的两点A,B.
(1)若α=,求直线BO2的极坐标方程.
(2)试用α表示图中阴影部分的面积S.

答案解析
1.【解析】由ρ=-4sinθ得ρ2=-4ρsinθ,于是在平面直角坐标系中,曲线的直角坐标方程为x2+y2=-4y,∴x2+(y+2)2=4.
而ρcosθ=1表示直线x1,代入上式得(y+2)2=3,解得y1=-2+,y2=-2-.
易知|AB|=2.
2.【解析】(1)设M(ρ,θ)是圆C上任意一点,在△OCM中,∠COM=|θ-|,由余弦定理,得CM2=OM2+OC2-2OM·OC·cos∠COM,
∴32=ρ2+32-2×3×ρcos(θ-),
即ρ=6cos(θ-)为所求.
(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ′,θ′),由得=2(-).
∴=,∴ρ1=ρ′,θ1=θ′,代入圆方程ρ=
6cos(θ-)得ρ′=6cos(θ′-),
即ρ=9cos(θ-)为所求.
3.【解析】以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,则半圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ,设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),由题意知,M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)在抛物线ρ=上,
∴2rcosθ=,
rcos2θ-rcosθ+a=0,
由于2a<,则r>4a,
∴Δ=r2-4ra= r(r-4a)>0.
∴cosθ1,cosθ2是方程rcos2θ-rcosθ+a=0的两个根,
由根与系数的关系,得cosθ1+cosθ2=1,
∴|MA|+|NA|=ρ1+ρ2=2rcosθ1+2rcosθ2=2r(定值).
4.【解析】将极坐标方程ρ=3cosθ转化为ρ2=3ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=3x,
即(x-)2+y2=.
直线ρcosθ=1即x=1.圆心到直线的距离d=ρ,-θ),代入圆C的方程ρ=2asinθ,
得ρ=2asin(-θ),即ρ=-2asinθ为所求.
(2)点M(ρ,θ)关于直线θ=对称的点为(ρ, -θ),代入圆C的方程ρ=2asinθ,得
ρ=2asin(-θ),即ρ=-2acosθ为所求.
方法二:由圆的极坐标方程ρ=2asinθ,得ρ2=2ρasinθ,
利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=
化为直角坐标方程为x2+y2=2ay,
即x2+(y-a)2=a2,
故圆心为(0,a),半径为|a|.
(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0,-a),圆的方程为x2+(y+a)2=a2,
即x2+y2=-2ay,∴ρ2=-2ρasinθ,
故ρ=-2asinθ为所求.
(2)由θ=得tanθ=-1,故直线θ=的直角坐标方程为y=-x.
圆x2+(y-a)2=a2关于直线y=-x对称的圆的方程为(-y)2+(-x-a)2=a2,
即(x+a)2+y2=a2,于是x2+y2=-2ax.
∴ρ2=-2ρacosθ.
此圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ.
7.【解析】设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ).
∵点Q在直线l:ρcosθ=a上,
∴ρ0cosθ0=a　①.
∵△OPQ为正三角形,
∴∠POQ=,ρ0=ρ,θ0=θ-,
代入①得ρcos(θ-)=a,
即ρ(cosθ+sinθ)=a,
化为直角坐标方程为x+y-2a=0.
8.【解析】(1)由ρcos(θ-)=1,得
ρ(cosθ+sinθ)=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y=2.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0);
当θ=时,ρ=,所以N(,).
(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为(0, ).
所以P点的直角坐标为(1, ),则P点的极坐标为(,).
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).
9.【解析】(1)把极坐标系下的点P(4,)化为直角坐标,得P(0,4).
由于点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上
(2)由于点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cosα,sinα),从而点Q到直线l的距离为d=
=cos(α+)+2,
由此得,当cos(α+)=-1时,d取得最小值,且最小值为.
10.【解析】(1)在直线BO2上任取点P(ρ,θ),由α=,得∠BO2x=,在△POO2中,由正弦定理,得:所以直线BO2的极坐标方程为ρsin(-θ)
= .
(2)连接O1A,易得O1A∥O2B,得:
∠BO2O=∠AO1O=π-2α,∠AO1O2=2α,
∴S=×2×2sin(π-2α)-×1×1×sin(π-2α)-×1×2α=sin2α-α.

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