2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第八章-第八节抛物线.docx

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课时提升作业(五十七)
一、选择题
1.(2021·中山模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=(　　)
(A) (B)1 (C)2 (D)3
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是
(　　)
(A)4 (B)6 (C)8 (D)12
3.(2021·深圳模拟)一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2=4x上,其中一个顶点在原点,则这个三角形的面积是(　　)
(A)48 (B)24 (C) (D)
4.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为
(　　)
(A) (B) (C) (D)
5.(2021·湛江模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有(　　)
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
6.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为(　　)
(A)48 (B)56 (C)64 (D)72
7.若双曲线-=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
8.(力气挑战题)已知F为抛物线y2=8x的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|-|FB||的值等于(　　)
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
二、填空题
9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为　　　.
10.(2021·茂名模拟)已知抛物线y2=4x与直线2x+y-4=0相交于A,B两点,抛物线的焦点为F,那么||+||=　　　　
11.(力气挑战题)如图,抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则·的值是　　　.

三、解答题
12.已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程.
(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.
13.(2021·揭阳模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
14.(2021·汕头模拟)已知定点R(0,-3),点P在x轴上,PR⊥PM,线段PM与y轴交于点Q,且满足=2.
(1)若点P在x轴上运动,求点M的轨迹E的方程.
(2)求轨迹E的倾斜角为的切线l0的方程.
(3)若(2)中的切线l0与y轴交于点G,过G的直线l与轨迹E交于A,B两点,D点的坐标为(0,1),当∠ADB为钝角时,求直线l的斜率k的取值范围.

答案解析
1.【解析】选C.由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,
即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).
2.【解析】选B.∵点P到y轴的距离是4,延长使得和准线相交于点Q,则|PQ|等于点P到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点P到该抛物线焦点的距离为6.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时确定要留意.
3.【解析】选A.
如图,设AB所在的直线方程为y=x,
由
得B点坐标为(12,4),
∴S△ABC=2S△ABD=2××12×4=48.
4.【解析】选A.由已知得1+=5,∴p=8.
∴y2=16x,又M(1,m)在y2=16x上,
∴m2=16(m>0),∴m=4,∴M(1,4).
又双曲线-y2=1的左顶点A(-,0),一条渐近线为y=x=x.
又kAM=,∴=,解得a=.
5.【解析】选C.作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.
6.【解析】选A.由题不妨设A在第一象限,联立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而准线方程是
x=-1,所以AP=10,QB=2,PQ=8,
故S梯形APQB=(AP+QB)·PQ=48.
7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),
抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),
依题意=.
即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,
又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,
解得c=a.
故双曲线的离心率为=.
8.【解析】选C.依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2,由消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|
=|x1-x2|===8.
9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4),准线方程为y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.
答案:x2+(y-4)2=64
10.【解析】由消去y,得x2-5x+4=0(*),方程(*)的两根为A,B两点的横坐标,故x1+x2=5,由于抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),
所以||+||=(x1+1)+(x2+1)=7.
答案:7
11.【解析】由于抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0),
则||=||-1=xA,||=||-1=xD,
∴||·||=xA·xD=1,
∴·=||||=1.
答案:1
12.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).
∵OP⊥OQ,∴当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.当x≠0时,得kOP·kOQ=-1,即·=-1,化简得x2=2y,
∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).
(2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.
设直线l2的方程为y=kx+b,
由得x2-2kx-2b=0.
∵直线l2与曲线C相切,
∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.
点(0,2)到直线l2的距离d==·=(+)
≥×2
=.
当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.
∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.
13.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,
得(-2)2=2p×1,
所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)存在.假设存在符合题意的直线l,
其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
∵直线l与抛物线C有公共点,
∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l的距离d=,可得=,
解得t=±1.
∵-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞).
∴符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
14.【解析】(1)设M(x,y),P(x0,0),
则=(-x0,-3),=(x-x0,y),
∵⊥,∴-x0(x-x0)-3y=0,
即x0(x-x0)+3y=0,
又设Q(0,y0),
∵=2,
∴(x,y-y0)=2(-x0,y0),
∴∴2x0(2x-2x0)+12y=0,
∴-x·3x+12y=0,∴y=x2.
(2)设切点M0为(x0,y0),
∵y′=x,
∴切线l0的斜率k0=x0=1,
∴x0=2,切点为(2,1).
l0的方程为x-y-1=0.
(3)由(2)可知G点坐标为(0,-1),易知直线l斜率存在,则l:y=kx-1,
由得x2-4kx+4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则Δ=16k2-16>0,即k2>1,
∵∠ADB为钝角,
∴·<0,且与不共线,
于是x1x2+(y1-1)(y2-1)<0,
∴(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4<0.
即k2>2,即k<-或k>.
∴直线l的斜率k的取值范围是k>或k<-.
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