2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第三章-第六节简单的三角恒等变换.docx

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课时提升作业(二十二)
一、选择题
1.·等于(　　)
(A)-sinα (B)-cosα (C)sinα (D)cosα
2.函数y=sin2xcos 2x是(　　)
(A)周期为的奇函数　 (B)周期为的偶函数
(C)周期为的奇函数　 (D)周期为的偶函数
3.(2021·广州模拟)化简=(　　)
(A)-2 (B)- (C)-1 (D)1
4.已知函数f(x)=-asincos(π-)的最大值为2,则常数a的值为　　)
(A) (B)-
(C)± (D)±
5.(2021·太原模拟)若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围为(　　)
(A)[-1,] (B)[-1,1]
(C)[1,] (D)[-,-1]
6.(2021·中山模拟)给出下列的四个式子:①,②,③,④;已知其中至少有两个式子的值与tanθ的值相等,则(　　)
(A)a=cos2θ,b=sin2θ
(B)a=sin2θ,b=cos2θ
(C)a=sin,b=cos
(D)a=cos,b=sin
二、填空题
7.(2021·佛山模拟)化简-tan5°-的值是　　　　　.
8.(力气挑战题)函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2,最小值-1,则实数(ab)2的值为　　　　.
9.函数y=的单调递增区间为　　　　.
三、解答题
10.(2021·阳江模拟)已知函数f(x)=cos2(x-)-sin2x.
(1)求f()的值.
(2)若对于任意的x∈[0,],都有f(x)≤c,求实数c的取值范围.
11.已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R.
(1)求f()的值.
(2)设α,β∈[0,],f(3α+)=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
12.(力气挑战题)已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.

答案解析
1.【解析】选D.原式=·
=·
=cosα.
2.【思路点拨】利用倍角公式化简成y=Asinωx的形式,即可得其相应性质.
【解析】选A.y=sin2xcos 2x=sin4x,
∴最小正周期为=.
∵f(-x)=-f(x),
∴函数y=sin2xcos 2x是奇函数.
3.【解析】选C.===-1.
4.【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωxφ)的形式,再利用最大值求得a.
【解析】选C.由于f(x)=+asinx=(cosx+asinx)=
cos(x-φ)(其中tanφ=a),所以=2,解得a=±.
5.【解析】选A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m
=1+sin 2x-2cos2x-m
=1+sin 2x-1-cos 2x-m
=sin(2x-)-m.
∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴-≤2x-≤,
∴-1≤sin(2x-)≤,
故当-1≤m≤时,f(x)在[0,]上有零点.
6.【解析】选A.∵tanθ===,
∴a=cos2θ,b=sin2θ时,式子①③与tanθ的值相等,故选A
7.【解析】原式=-=-=0.
答案:0
8.【解析】y=acos2x+bsinxcosx
=a·+sin 2x
=sin(2x+φ)+,
∴
∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8.
答案:8
【方法技巧】三角恒等变换的特点
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简洁的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换经常首先查找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.
9.【思路点拨】利用倍角公式开放约分后化为正切再求解.
【解析】y==
==
=tan(+).
由kπ-<+<+kπ,k∈Z,
知2kπ-价于≤c.
故对于任意的x∈[0,],都有f(x)≤c时,c的取值范围是[,+∞).
【变式备选】设函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x∈R).
(1)化简函数f(x)的表达式,并求函数f(x)的最小正周期.
(2)若x∈[0,],求函数f(x)的最大值与最小值.
【解析】(1)∵f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1
=cos2x+sin2x
=2sin(2x+),
∴函数f(x)的最小正周期T=π.
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴-≤sin(2x+)≤1,
∴-1≤2sin(2x+)≤2,
∴当2x+=,
即x=时,f(x)min=1;
当2x+=,
即x=时,f(x)max=2.
11.【解析】(1)f()=2sin(-)=2sin=.
(2)f(3α+)=2sinα=,
∴sinα=.又α∈[0,],∴cosα=,
f(3β+2π)=2sin(β+)=2cosβ=,
∴cosβ=.
又β∈[0,],∴sinβ=,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=.
12.【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ
=sin(ωx+φ),
∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.
又∵0≤φ≤π,∴φ=.
∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.
又f(x)关于(,0)对称,
故ω=kπ+,k∈Z.
即ω=+,k∈Z.
又ω>0,故k=0,1,2,…
当k=0时,ω=,f(x)=cosx在[0,]上是减函数.
当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是减函数.
当k=2时,ω=,f(x)=cosx在[0,]上不是单调函数,
当k>2时,同理可得f(x)在[0,]上不是单调函数,
综上,ω=或ω=2.

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