1、
第4讲 参数方程
1．(2021·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(其中φ为参数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos＝3.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值．
解 直线l的一般方程为x－y－3＝0，
设椭圆C上的点到直线l距离为d，
则d＝＝，
∴当sin＝1时，dmax＝2，
当sin＝－1时，dmin＝.
2．在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
解 ∵椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，其
2、中0≤φ<2π.因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝
2＝2sin，
∴当φ＝时，S取得最大值2.
3．(2022·南通市模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，曲线D的参数方程为(t为参数)．若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围．
解 曲线C的一般方程为(x－m)2＋y2＝4.
曲线D的一般方程为3x＋4y＋2＝0.
由于曲线C、D有公共点，所以≤2，|3m＋2|≤10.
解得－4≤m≤，即m的取值范围是.
4．(2021·扬州调研)已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
3、C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0.点P在直线l上，点Q在曲线C上，求PQ的取值范围．
解 直线l的一般方程为4x－3y＋8＝0；
曲线的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝1，
曲线C是圆心为(2,0)，半径为1的圆，
圆心到直线的距离d＝＝.
所以PQ的取值范围是.
5．(2022·南京、盐城调研)在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．
解 ⊙C的方程可化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，两边同乘ρ，则ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ.
由
4、ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得x2＋y2－4x－4y＝0.
圆心C的坐标为(2,2)，圆的半径r＝2.
又由题设知直线l的一般方程为x－y－2＝0，
故圆心C到直线l的距离d＝＝.
∴弦AB长度等于2＝2.
6．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的方程为ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C2的方程为(α为参数)．
(1)将C1的方程化为直角坐标方程；
(2)若C2上的点Q对应的参数为α＝，P为C1上的动点，求PQ的最小值．
解 (1)x2＋y2－8y＋15＝0.
(2)当α＝时，得Q(－2,1)，点Q到C1的圆
5、心(0,4)的距离为，所以PQ的最小值为－1.
7．(2022·泰州调研)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C截得的线段长度．
解 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆，直线方程l的一般方程为y＝x＋1，
圆C的圆心到直线l的距离d＝1，
故直线l被曲线C截得的线段长度为2＝4.
8．(2021·南京调研)在平面直角坐标系xOy中，推断曲线C：(θ为参数)与直线l：(t为参数)是否有公共点，
6、并证明你的结论．
解 直线l与曲线C没有公共点．证明如下：
直线l的一般方程为x＋2y－3＝0，
把曲线C的参数方程代入l的方程x＋2y－3＝0，得
2cos θ＋2sin θ－3＝0，即sin＝.
∵sin∈[－，]，而∉[－，]，
∴方程sin＝无解，即曲线C与直线l没有公共点．
9．(2021·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解 (1)将消去参数t，
化为一
7、般方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的一般方程为x2＋y2－2y＝0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
10．已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0，)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．
(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的参数方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．
解 (1)圆锥曲线化为一般方程＋＝1，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)，则直线AF2的斜率k＝－，于是经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的斜率k′＝，直线l的倾斜角是30°，
所以直线l的参数方程是(t为参数)，
即(t为参数)．
(2)直线AF2的斜率k＝－，倾斜角是120°，
设P(ρ，θ)是直线AF2上任一点，
则＝，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，
则ρsin θ＋ρcos θ＝.
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