工程力学材料力学第四版(北京科技大学与东北大学)习题答案教学文案.doc

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                            工程力学材料力学
（北京科技大学与东北大学）
第一章 轴向拉伸和压缩

1-1：用截面法求下列各杆指定截面的内力

 解：

(a):N1=0,N2=N3=P

(b):N1=N2=2kN

(c):N1=P,N2=2P,N3= -P

(d):N1=-2P,N2=P

(e):N1= -50N,N2= -90N

(f):N1=0.896P,N2=-0.732P

注（轴向拉伸为正，压缩为负）

1-2：高炉装料器中的大钟拉杆如图a所示，拉杆下端以连接楔与大钟连接，连接处拉杆的横截面如图b所示；拉杆上端螺纹的内

径d=175mm。以知作用于拉杆上的静拉力P=850kN，试计算大钟拉杆的最大静应力。

 解：   σ1=    =35.3Mpa
       σ2= =30.4MPa

 ∴σmax=35.3Mpa

1-3：试计算图a所示钢水包吊杆的最大应力。以知钢水包及其所盛钢水共重90kN，吊杆的尺寸如图b所示。

解：

下端螺孔截面：σ1= =15.4Mpa

上端单螺孔截面：σ2==8.72MPa
上端双螺孔截面：σ3= =9.15Mpa

∴σmax=15.4Mpa

1-4：一桅杆起重机如图所示，起重杆AB为一钢管，其外径D=20mm,内径d=18mm;钢绳CB的横截面面积为0.1cm2。已知起重量

P=2000N，       试计算起重机杆和钢丝绳的应力。

解： 受力分析得：

F1*sin15=F2*sin45

F1*cos15=P+F2*sin45

∴σAB= =-47.7MPa
 σBC==103.5 MPa

1-5：图a所示为一斗式提升机.斗与斗之间用链条连接,链条的计算简图如图b 所示,每个料斗连同物料的总重量P=2000N.钢链又

两层钢板构成,如c所示.每个链板厚t=4.5mm,宽h=40mm,H=65mm,钉孔直径d=30mm.试求链板的最大应力.

解: 
        F=6P 

S1=h*t=40*4.5=180mm2 

S2=(H-d)*t=(65-30)*4.5=157.5mm2

∴σmax==38.1MPa

1-6:一长为30cm的钢杆,其受力情况如图所示.已知杆截面面积A=10cm2,材料的弹性模量E=200Gpa,试求;

(1)    AC. CD DB 各段的应力和变形.

(2)    AB杆的总变形.

解: (1)σAC=-20MPa,σCD=0,σDB=-20MPa;
△     l AC===-0.01mm
△     l CD==0
△     L DB==-0.01mm

(2) ∴=-0.02mm

1-7:一圆截面阶梯杆受力如图所示,已知 材料的弹性模量E=200Gpa,试求各段的应力和应变.

解:

1.59*104,
6.36*104

1-8:为测定轧钢机的轧制力,在压下螺旋与上轧辊轴承之间装置一测压用的压头.压头是一个钢制的圆筒,其外径D=50mm,内径

d=40mm,在压头的外表面上沿纵向贴有测变形的电阻丝片.若测得轧辊两端两个压头的纵向应变均为ε=0.9*10-2,试求轧机的总轧

制压力.压头材料的弹性模量E=200Gpa.
解:   

1-9：用一板状试样进行拉伸试验，在试样表面贴上纵向和横向的电阻丝来测定试样的改变。已知b=30mm,h=4mm;每增加3000N的拉力时，测得试样的纵向改变=120*10-6，横向应变。求试样材料的弹性模量和泊松比。

解：

1-10：连杆端部与销轴相连，其构造如图，设作用在连杆的轴向力，螺纹处的内径，螺栓材料的许用应

力，试校核螺栓的强度。

解：

1-11：用绳索吊运一重的重物。设绳索的横截面积，许用应力试问：

（1）当时，绳索强度是否够用？

（2）如改为，再校核绳索的强度。

解：（1）当，强度不够
   （2）当， 强度够

1-12：图示一板卷夹钳同时吊两个钢卷，已知每个钢卷重100kN,AB与AC两杆夹角为，其横截面为的矩形，

材料的许用应力，试校核两杆的强度。

解：

1-13：某金属矿矿井深200m ,j井架高18m ,起提升系统简图如图所示，设罐笼及其装载的矿石重，钢丝的自重为

；钢丝横截面面积为，抗拉强度。设安全系数，试校核钢丝的强度。

解：

1-14：化铁炉上的料罐如图所示，罐自重，料。试计算拉杆和链环拉伸部分所需的直径。材料的许用应力

解：

1-15 悬臂吊车的尺寸和载荷情况如图所示。斜杆BC由两角钢组成，载荷Q=25 kN。设材料的许用应力[]=140    MPa，试选择

角钢的型号。

解：

=70.7

查表得： 45*45*3

1-16 图示一手动压力机，在工件上所加的最大压力为150 kN。已知立柱和螺杆所用材料的屈服点=240 Mpa，规定的安全系数

n=1.5。

（1）       试按强度要求选择立柱的直径D；

（2）       若螺杆的内径d=40 mm，试校核其强度。

解：(1)

 MPa                 

  (2)

1-17 一汽缸如图所示，其内径D=560 mm，汽缸内的液体压强p=250 N/，活塞杆直径d=100 mm，所用材料的屈服点=300

Mpa。

（1）       试求活塞杆的正应力和工作安全系数；
（2）       若连接汽缸与汽缸盖的螺栓直径=30 mm，螺栓所用材料的许用应力[]=60 MPa，试求所需的螺栓数。

 解1）

1-18 起重吊钩上端借助螺母支搁，吊钩螺纹部分的外径d=63.5 mm，内径=55 mm；材料为20钢，许用应力[]=50 Mpa。试

根据吊钩螺纹部分的强度确定吊钩的许用起重量P。

解：P=119kN

1-19 如入所示结构的AB杆为钢杆，其横截面积=6 ，许用应力[]=140 MPa；BC杆为木杆，横截面积=300，许
用压应力[]=3.5 MPa。试求最大许可载荷P。

解：

所以最大载荷 84kN

1-20 起重机如图所示，钢丝绳AB的横截面面积为500，许用应力[]=40 Mpa。试根据钢丝绳的强度求起重机的许用起重量

P。

解： P=33.3 kN

1-21 一不变形的刚性梁AB搁于三个相同的弹簧上，在梁上D处作用一力P，如图所示。设已知弹簧刚性系数C（=），试求

A、B、C处三个弹簧各受力多少？

解：

1-22 如图所示为一中间切槽的钢板，以螺钉固定于刚性平面上，在C处作用一力P=5000 N，有关尺寸如图所示。试求此钢板的

最大应力。

解：

1-23 两钢杆如图所示，已知截面面积=1 ，=2 ；材料的弹性模量E=210Gpa，线膨胀系数=12.5× lC。当

温度升3C时，试求两杆内的最大应力。
解：

第二章 剪切
2-1 一螺栓连接如图所示，已知P=200 kN， =2 cm，螺栓材料的许用切应力[τ]=80Mpa，试求螺栓的直径。

解：

2-2 销钉式安全离合器如图所示，允许传递的外力偶距 m=10kN·cm，销钉材料的剪切强度极限=360 Mpa，轴的直径D=30

mm，为保证m＞30000 N·cm 时销钉被剪切断，求销钉的直径 d。

解：

2-3 冲床的最大冲力为400 kN，冲头材料的许用应力[σ]=440 Mpa，被冲剪钢板的剪切强度极限=360 Mpa。求在最大冲力作用

下所能冲剪圆孔的最小直径D和钢板的最大厚度。

解：

2-4 已知图示铆接钢板的厚度=10 mm，铆钉的直径为[τ]=140 Mpa，许用挤压应力[]=320 Mpa，P=24 kN，试做强度校核。

解：

2-5 图示为测定剪切强度极限的试验装置。若已经低碳钢试件的直径D=1 cm，剪断试件的外力P=50.2Kn，问材料的剪切强度极

限为多少？

解：

2-6一减速机上齿轮与轴通过平键连接。已知键受外力P=12 kN，所用平键的尺寸为b=28 mm，h=16 mm，l=60 mm，键的许用应
力[τ]=87 Mpa，[]=100 Mpa。试校核键的强度。

解：

 所以都满足

 2-7图示连轴器，用四个螺栓连接，螺栓对称的安排在直径D=480 mm的圆周上。这个连轴结传递的力偶矩m=24 kN·m，求螺

栓的直径d需要多大？材料的许用切应力[τ]=80 Mpa。

（提示：由于对称，可假设个螺栓所受的剪力相等）

 解：

2-8 图示夹剪，销子C的之间直径为0.6 cm，剪直径与销子直径相同的铜丝时，若力P=200 N，a=3 cm，b=15 cm，求铜丝与销子

横截面上的平均切应力。

解：

：

2-9 一冶炼厂使用的高压泵安全阀如图所示，要求当活塞下高压液体的压强达到p=3.4 Mpa时，使安全销沿1-1和2-2两截面剪断，从而使高压液体流出，以保证泵的安全。已知活塞直径D=5.2cm，安全销采用15号钢，其剪切强度极限=320 Mpa，试确

定安全销的直径d。

解：

第三章  扭转

3-1     试求图视各轴在指定横截面1-1、2-2和3-3上的扭矩，并在各截面上表示出钮矩的方向。

解：

据截面沿指定截面i-i (i=123)将杆截为两段，考虑任一段的平衡即可得该指定截面上的扭矩，例如题b:

（1）1-1截面

            由       =0，1+2-=0 得=1+2=3kN.m（方向如图所示，为负扭矩）

（2）2-2截面

     由       =0，1+2-6+=0 得=6-2-1=3kN.m (方向如图所示，为正扭矩)

（3）3-3截面
     由       =0，=0
由以上各扭矩的计算式可知，轴内任一横截面的扭矩，在数值上就等于该截面一侧各外力偶矩值的代数和；而扭矩的方向则与截面任一侧合外力偶的方向

相反。利用这一规则可迅速求得任一截面的扭矩，而无须将轴截开。剧此规则可得a各截面的扭矩：

=3kN.m， ==-2kN.m

3-2      试绘出下列各轴的钮矩图，并求。

解： （a） =2， （b） =4

3-3      试绘下列各轴的扭矩图，并求出。已知ma=200N.m,mb=400N.m,mc=600N,m.

解： （a） =600N.m  ，（b） =400N.m

34    一传动轴如图所示，已知ma=130N..cm,  mb=300N.cm , mc=100N.cm, md=70N.cm;各段轴的直径分别为：Dab=5cm, Dbc=7.5cm, Dcd=5cm

 (1)画出扭矩图；

（2）求1-1、2-2、3-3截面的最大切应力。

解：
=-130N.m， =170 N.m，=70N.m

 =5.3 MPa ,  =2.05 MPa ,  =2.85MPa

3-5  图示的空心圆轴，外径D=8cm,内径d=6.25cm,承受扭矩m=1000N.m. 

 (1)求、 

（2）绘出横截面上的切应力分布图；

（3）求单位长度扭转角，已知G=80000Mpa.

解： 

3-6  已知变截面钢轴上的外力偶矩=1800N.m, =1200N.m, 试求最大切应力和最大相对扭矩。已知G=80*Pa.

解：

（1）各段轴横截面的扭矩：
AB段   （负扭矩）
BC段    （为负扭矩）

 (2)  最大剪应力计算：   因两段轴扭矩不同，所以应分别计算每段轴内横截面的最大剪应力值，然后加以比较找到最大减应力值。  

AB段   

BC段  

           比较得最大剪应力发生在BC段，其数值为
(3)最大相对扭转角   因轴内各截面扭矩方向都一致，所以最大相对扭转角即为整个轴长的总扭转角。在使用扭转角公式时，注意到该式的使用
条件必须是对应于所算转角的长度段内，、、T为常数。故分别计算两段轴的扭转角，然后相加即得最大相对扭转角。

  +0.0213弧度=1.22度

3-7一钢轴的转矩n=240/min. 传递功率=44.1kN.m.已知=40Mpa,=,G=80*MPa,  试按强度和刚度条件计算轴的直径

解： 轴的直径由强度条件确定，。

3-8   图示实心轴通过牙嵌离合器把功率传给空心轴。传递的功率=7.5kw,轴的转速n=100r/min,试选择实心轴直径和空心轴外径。已知/=0.5，

=40Mpa.

解： （1）外力偶矩的计算

       （2） 两轴各截面传递的扭矩

        （3） 实心轴所需直径由得   选d=45mm.

        (4)  空心轴的外、内选择   由得

                          选 所以。

3-9  图示AB轴的转速n=120r/min,从B轮上输入功率=40kw,此功率的一半通过锥齿轮传给垂直轴V，另一半功率由水平轴H传走。已知锥齿轮的节圆直径

=600mm；各轴直径为=100mm, =80mm, =60mm, =20MPa，试对各轴进行强度校核。

解：
AB 轴   

   水平轴H 

    垂直轴 V

3-10  船用推进器的轴，一段是实心的，直径为280mm，另一段是空心的，其内径为外径的一半。在两段产生相同的最大切应力的条件下，求空心部分轴的外径

D.

 解：提示  设扭矩为T，分别列出实心轴及空心轴截面上的最大剪应力、的计算式，然后将其代入条件式 即可求出D.

                 D=286mm

3-11  有一减速器如图所示。已知电动机的转速n=960r/min, 功率=5kw；轴的材料为45钢，=40MPa 试按扭转强度计算减速器第一轴的直径。

解：           

3-12   一传动轴传动功率=3kw，转速n=27r/min，材料为45钢，许用切应力=40MPa。试计算轴的直径。

解：            

3-13  一钢制传动轴，受扭矩T=4kN.m，轴的剪切弹性模量G=80GPa，许用切应力，单位长度的许用转角，试计算轴的直径。

解： 由可求，取d=80mm

3-14 手摇绞车驱动轴AB的直径d=3 cm，由两人摇动，每人加在手柄上的力P=250 N，若轴的许用切应力=40 Mpa，试校核AB轴的扭转强度。

解：,强度足够。

3-15 汽车的驾驶盘如图所示，驾驶盘的直径=52 cm，驾驶员每只手作用于盘上的最大切向力P=200 N，转向轴材料的许用切应力=50 MPa，试设计实心转

向轴的直径。若改为==0.8的空心轴，则空心轴的内径和外径各多大？并比较两者的重量。

解：  ，重量比 

3-16 二级齿轮减速箱如图所示。已知输入功率为10 kW，又知减速箱轴Ⅱ的转速为1530 r/min，轴的直径d=25 cm，许用切应力=30 MPa，试按扭转强度校核

轴Ⅱ的扭转强度。

解： ，强度足够。

3-17 已知钻探机钻杆的外径D=6 cm，内径d=5 cm，功率=7.36kW，转速n=180 r/min，钻杆入土深度l=40 m，=40 MPa。假设土壤对钻杆的阻力沿钻杆长度

均匀分布，试求：

（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩T；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核。

解：

（1）钻杆上单位长度所受的阻力矩T

      总的阻力偶矩

       而

      单位长度钻杆上的阻力矩

  （2）钻杆的扭矩图  设钻杆任一横截面踞下端距离为x m()，则据截面法，该截面的扭矩在数值上即等于截面以下作用的合外力偶矩，方向则相反，即

（单位N.m）

  上式为直线方程，由此画出扭矩图如图，其最大扭矩在杆的上端  。

  （3）钻杆的扭矩强度校核

    钻杆的扭转强度足够。           

3-18 四辊轧机的传动机构如图所示，已知万向接轴的直径d=11 cm，材料为40 Cr，其剪切屈服点=450 Mpa，转速n=16.4 r/min；轧机电动机的功率=60 kW。

试求此轴的安全系数。

解：
第四章   弯曲内力

4-1  求下列各梁指定截面上的剪力Q和弯矩M。各截面无限趋近于梁上A、B、C等各点。

解：

题（b）

（1）       求支反力（见图）

由，l-Pl=0 =

由， 

（2）剪力   按计算剪力的规则  

（3）弯矩   按计算弯矩的规则  

其它各题的答案：

（a）

（c）

（d）

（e）

f）

4-2   试列出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并求和。

解：题c

(1)   

剪力和弯矩方程  以左端A为原点，任一截面距左端的距离为x（图）\

剪力方程:

弯矩方程:

(2 )剪力图与弯矩图  按上述剪力方程和弯矩方程绘剪力图和弯矩图

（3）

与值  由及得

=200N   =950

题（f）

（1）       求支反力（见图）

由

，600-1004040=0

=

由

，q4020-60=0

=

校核：

+=2667+1333=4000N=q40=10040  所以支反力计算正确

（2）剪力和弯矩方程  以左端为原点，任一截面距左端的距离为x，

则得剪力方程 ：

弯矩方程

（2）       剪力图和弯矩图  按上述剪力及弯矩方程绘出图及所示的剪力图和弯矩图所示剪力图和弯矩图.

图中最大弯矩的截面位置可由，即剪力 的条件求得

Q（x）=3333-100x=0

    x=33.3cm

（4）

及

由及得

=2667N  ，=355

其他各题的答案：

（a）=ql  =

（b）

（d）

（e）

（g）

（h）

 （i）

  （j）

4-3 用叠加法作以下各梁的弯矩图。并求出。

解：题c

分别作、q单独作用时的弯矩图（图、），然后将此二图叠加得总的弯矩图。由可知

题（）

 分别作P和q单独作用时的弯矩图（图、），然后将此二图叠加得总的弯矩图。由可知

其他各题答案为：

（a）（b）

（d）（e）

4-4  用剪力、弯矩和分布载荷集度之间的微分关系校核前面已画的剪力图和弯矩图是否正确。

4-5  不列剪力方程和弯矩方程，作以下各梁的剪力图和弯矩图，并求出和。

解：题（d）

（1）       求支反力（图）

由，3a-P2a-Pa=0

   =

由Pa-Pa-=0

                   =0

校核      +=P+0=P

            满足计算正确

（2）       绘剪力图及弯矩图如图、所示

（3）       及

其他各题答案：

（a）=2P,|=3 Pa

(b) =2qa,|=q

(c)  =ql, =q

4-6  用合适的方法作下列各梁的剪力图和弯矩图。

解:题(a)

(1) 求支反力(图)

由=0， ×l-q××+ql×=0

校核

（2）绘弯矩图  如

4-7  试根据载荷、剪力图和弯矩图之间的关系，检查下列各梁的剪力图和弯矩图是否正确，并对错误之处加以改正。

解：题（b）

此梁为带中间绞的静定梁。求解时可将梁AB段视为中点受集中力P的简支梁，梁BD段视为在悬臂端受集中力作用的悬

臂梁，值可由AB梁的平衡条件求得 ==。由此绘出两段梁的弯矩图分别如图、所示。

由图、知|=

题(c)

(1)  求支反力（图）         

（2） 弯矩方程  以A为截面位置的坐标x的弯矩方程为：

（3）弯矩图如图所示。

（4）|=0.06415

 其他各题答案

（a）|=    (d)  |=

4-8  作下列构件的内力图。

4-9  在梁上行走的小车二轮的轮压均为P ，如图所示。问小车行至何位置时梁内的弯矩最大？最大弯矩值是多少？设小车的轮

距为c，大梁的跨度为。

答：

或

第五章 弯曲应力

5-1一矩形截面梁如图所示，试计算I-I截面A、B、C、D各点的正应力，并指明是拉应力还是压应力。

解：截面弯矩

         (拉)

        （压）

       （压）.

5-2一外伸梁如图所示，梁为16a号槽刚所支撑，试求梁的最大拉应力和最大压应力，并指明其所作用的界面和位置。

解：由静力平衡求出支座A、B的支反力

最大正弯矩  

最大负弯矩  

查表得           b=63mm   

最大拉应力在C截面最下方 

最大压应力在A截面最下方  .

5-3一矩形截面梁如图所示，已知P=2KN,横截面的高宽比h/b=3;材料为松木，其许用应力为。试选择横截面的尺

寸。

解：由静力平衡求出支座A、B的支反力

 最大弯矩在中间截面上，且

      又 

解得，      .

5-4一圆轴如图所示，其外伸部分为空心管状，试做弯矩图，并求轴内的最大正应力。

解：（1）求支反力：

由                           

（2）画弯矩 （如右图）  

（3）求最大正应力：

由弯矩图上可知最大弯矩发生在截面B。                      

抗弯截面模量           

圆轴的最大弯曲正应力  .

5-5  一矿车车轴如图所示。已知 a=0.6cm,p=5KN,材料的许用应力  ，试选择车轴轴径。

解： 最大弯矩 

解得，                                              

5-6  一受均布载荷的外伸刚梁 ，已知q=12KN/m,材料的许用用力。试选择此量的工字钢的号码.                   

解： （1）求支反力：由对称性可知                       

（2）画弯矩图 

（3）选择截面尺寸

选择18号工字钢。

5-7 图示的空气泵的操纵杆右端受力为8.5KN,截面I-I和II-II位矩形，其高宽比为h/b=3，材料的许用应力。试求此

二截面的尺寸。

解：     由              得

在截面    

在截面    

解得     

5-8 图示为以铸造用的钢水包。试按其耳轴的正应力强度确定充满钢水所允许的总重量，已知材料的许用应力，

d=200mm.

解：最大应力发生在耳轴根处

  解得  

5-9 求以下各图形对形心轴的z的惯性矩。

解：（a）

（b）

（d）

（e）查表         

（f）

5-10 横梁受力如图所试。 已知P=97KN,许用应力。校核其强度。

\

解：此横梁为变截面梁，应校核C、D二截面的强度

（1）计算C、D二截面的弯矩

（2）计算惯性矩

（3）校核横梁强度

D截面处  

C截面处   

5-11 铸铁抽承架尺寸如图所示，受力P=16KN。 材料的许用拉应力。许用压应力。校核截面A-A

的强度，并化出其正应力分布图。

解：截面A处弯矩 

截面A的上缘处，

截面A的下缘处，

得 ，    

5-12 铸铁T形截面如图所示。设材料的许用应力与许用压应力之比为，试确定翼缘的合理跨度b.

5-13 试求题5-1中截面I-I上A、B、C、D各点处的切应力。

5-14 制动装置的杠杆，在B处用直径d=30mm的销钉支承。若杠杆的许用应力，销钉的，试求许

可载荷和。

解： 由平衡条件可得    , 再用杠杆的弯曲正应力强度条件及销钉的剪应力强度条件。  得

5-15 有工字钢制成的外伸梁如图所示。设材料的弯曲许用应力，许用且应力，试选择工字钢的型

号。

5-16  一单梁吊车由40a号工字钢制成，在梁中段的上下翼缘上各加焊一块

的盖板，如图所示。已知梁跨长=8m,=5.2m,材料的弯曲许用应力，许用且应力。

试按正应力强度条件确定梁的许可载荷，并校核梁的切应力。梁的自重不考虑。

5-17  某车间用一台150KN的吊车和一台20KN的吊车，借一辅助梁共同起吊一重量P=300KN的设备，如图所示。

（1）重量矩150KN吊车的距离应在什么范围内，才能保证两台吊车都不致超载；

（2）若用工字刚作辅助梁，试选择工字钢的型号，已知许用应力。

解：

（1）求距离 x

   由  ，            得 

   由  ，        得 

若使两台吊车都不致超载，就要求           

（2）选择工字钢型号

   当重量P在辅助梁的中点时弯矩最大如图（b）（c）。则

   由弯矩正应力强度条件，

查表，选50.b号工字钢。

5-18  图示简支

梁AB，若载荷P直接

作用于梁的中点，梁的最大正应力超过了许可值的30%。为避免这种过载现象，配置了副梁CD，试求此副梁所需的长度。

解： 提示,算出无幅梁和有幅梁二种情形得罪大弯矩，使前者除以1.3应等于后者。

得到   .

　第六章 弯曲变形 静不定梁

6—1 用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。

解：

(a)

挠曲线微分方程为：

积分得：

                                 （1）
                                       （2）

在固定端A，转角和挠度均应等于零，即：

当x=0时，   ；

把边界条件代入（1），（2）得

C=0
D=0

再将所得积分常数

               （3）

             （4）

求B点处转角和挠度

  x=l时代入（3），（4）

（b）

任意截面上的弯矩为：        

挠曲线的微分方程：      

积分得                  

(1)    

(2)

在固定端B              

当x=0时

将边界条件代入（1）、（2）中，得：

                         C=D=0

再将所得积分常数C和D代回（1）、（2）式，得转角方程和挠曲线方程

以截面C的横坐标x=l/2代入以上两式，得截面C的转角和挠度分别为

(c)

求支座反力：     

=0

选取如图坐标，任意截面上的弯矩为：

挠曲线的微分方程为：

积分得：           

        （1）

                     （2）

铰支座上的挠度等于零，故

x=0时