1、 直线与圆锥曲线的位置关系(学案)B一、 学问梳理：1. 直线与圆锥曲线位置关系问题转化为争辩方程组的实数解的问题或利用数形结合方法解决.几何角度: 直线与圆锥曲线位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,.仅有一个公共点及有两个相异公共点.代数角度: 直线与圆锥曲线位置关系的争辩方法可通过代数方法即解方程组方法来争辩,设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线C的方程为F(x,y)=0,联立方程组Ax+By+C=0F(x,y)=0,消去y (或消去x)得到一个关于变量x的一元二次方程:ax2 +bx+x=0(1) 当a0时,则有下表中 的结论(方程的判别式=b2-4ac)方程的判别式方程组
2、的实数解的个数交点的个数位置关系022相交(2)当a=0时,得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线相交,且只有一个交点,此时若C为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行,若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合,因此直线与抛物线,直线与双曲线有一个公共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.2. 常用方法及公式(1).把争辩直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为争辩方程组的实数解的问题;(2).当根不易求解时一般用韦达定理建立参数与根的关系,同时要留意用判别式检验根存在性;(3).能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题,弦长公式:设A(x1,y1),B(,y
3、2),则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =1+k2|x1-x2|(方程是x的方程); |AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =1+1k2|y1-y2|(方程是y的方程),当直线斜率不存在时,可求出交点坐标,直线计算弦长,另外,过焦点的弦长还可依据定义求解.(4).处理弦的中点问题时,用点差法较为便利,能直接体现弦的斜率和中点的坐标之间的关系,但不易验证根的存在.二、题型探究探究一：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1:直线y=kx+1与双曲线的右支有两个不同的公共点,求实数K的取值范围.探究二:弦长问题例2: 已知直线y=kx+b与椭圆x2+4y2=4交于A,B两点,记AOB
4、的面积为S,(1) 在k=0,0bb1)在同一坐标系中的图形可能是（ ）3.设A为双曲线=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点（ ）A.（，0） B.（，0） C.（4，0） D.（，0）4.对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y020)的焦点F作一条直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于( )A.2a B.4a C. D.二、填空题（每小题5分，共15分）8.设P1、P2是抛物线x2=y的一条弦，假如P1P2的垂直平分线的方程为y=-x+3，那么弦P1P2所在的直线方程是_.9
5、.直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点，则m的取值范围是_.10.假照实数b不论取何值，直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点,那么k的取值范围是_.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.已知椭圆C:=1(ab0),直线l1:=1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程.12.已知双曲线C:=1（a0,b0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足|、|、|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.（1）求证：=；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.13.已知点P（2,1）在双曲线=1，且它和双曲线一个焦点F的距离是1，（1）求双曲线的方程；（2）过点F的直线l，交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|不超过4，求l的倾斜角范围.14.(2022江苏南京一模，22)已知直线x+2y+m=0(mR)与抛物线C：y2=x相交于不同的两点A，B，（1）求实数m的取值范围；（2）在抛物线C上是否存在一个定点P，对（1）中任意的m的值，都有直线PA与PB的斜率互为相反数？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
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