1、第2讲数列的综合问题一、选择题1(2022杭州质量检测)设Sn为等差数列an的前n项和若a40，a5|a4|，则使Sn0成立的最小正整数n为()A6B7 C8D9解析a40，a5|a4|，a4a50，S80.最小正整数为8.答案C2(2022广州综合测试)在数列an中，已知a11，an1ansin，记Sn为数列an的前n项和，则S2022()A1 006B1 007 C1 008D1 009解析由an1ansinan1ansin，所以a2a1sin 101，a3a2sin 1(1)0，a4a3sin 2000，a5a4sin011，a5a1，如此连续可得an4an(nN*)，数列an是一个以4
2、为周期的周期数列，而2 01445032，因此S2 014503(a1a2a3a4)a1a2503(1100)111 008.答案C3(2022吉林省试验中学模拟)an(2x1)dx，数列的前项和为Sn，数列bn的通项公式为bnn8，则bnSn的最小值为()A3B4 C3D4解析an(2x1)dxn2nn(n1)，所以，所以Sn，所以bnSnn1104，当且仅当n1，即n2时等号成立，所以bnSn的最小值为4.答案B4已知各项都为正的等比数列an满足a7a62a5，存在两项am，an使得 4a1，则的最小值为()A.B C.D解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20
3、，解得q2或q1(与条件中等比数列的各项都为正冲突，舍去)，又由 4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)，当且仅当，mn6，即n2m4时取得最小值.答案A二、填空题5(2021辽宁卷)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.解析a1，a3是方程x25x40的两根，且q1，a11，a34，则公比q2，因此S663.答案636(2022江苏五市联考)各项均为正数的等比数列an中，a2a11.当a3取最小值时，数列an的通项公式an_.解析依据题意，由于各项均为正数的等比数列an中，a2a11，所
4、以q1.q，a1(q1)1，a1，a3q12224，当且仅当q2时取得等号，故可知数列an的通项公式an2n1.答案2n17(2022咸阳一模)已知函数f(x)xsin x，项数为19的等差数列an满足an，且公差d0.若f(a1)f(a2)f(a18)f(a19)0，则当k_时，f(ak)0.解析由于函数f(x)xsin x是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点而等差数列an有19项，an，若f(a1)f(a2)f(a18)f(a19)0，则必有f(a10)0，所以k10.答案108(2021新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_解析由
5、已知解得a13，d，那么nSnn2a1d，由于函数f(x)(x0)在x处取得微小值也是最小值，因而检验n6时，6S648，而n7时，7S749.答案49三、解答题9已知数列an是各项均为正数的等比数列，a34，an的前3项和为7.(1)求数列an的通项公式；(2)若a1b1a2b2anbn(2n3)2n3，设数列bn的前n项和为Sn，求证：2.(1)解设数列an的公比为q，由已知得q0，且数列an的通项公式为an2n1.(2)证明当n1时，a1b11，且a11，解得b11.当n2时，anbn(2n3)2n3(2n23)2n13(2n1)2n1.an2n1，当n2时，bn2n1.b11211满足
6、bn2n1，数列bn的通项公式为bn2n1(nN*)数列bn是首项为1，公差为2的等差数列Snn2.当n1时，12.当n2时，.22.10(2022四川卷)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.它在x轴上的截距为a2.由题意知，a22，解得a22.所以，da2a11.从而ann，bn2n，所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以，Tn.11数列an的前n项和为Sn，a11，且对任意正整数n，点(an1，Sn)在直线2xy20上(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)由题意，可得2an1Sn20.当n2时，2anSn120.，得2an12anan0，所以(n2)由于a11,2a2a12，所以a2.所以an是首项为1，公比为的等比数列所以数列an的通项公式为ann1.(2)由(1)知，Sn2.若为等差数列，则S1，S22，S33成等差数列，则2S1S3，即21，解得2.又2时，Sn2n2n2，明显2n2成等差数列，故存在实数2，使得数列Snn成等差数列
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