八年级数学暑假培优-北师大版讲课讲稿.doc

2016年初二数学
勾股定理
　【知识要点】
1、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：
　　2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。

【典型习题】
例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm

例2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。
225
400
A
225
400

B
256
112
C
144
400
D

例3、2.8米
9.6米
如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
2.8米
9.6米

例4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

例5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

例6、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室，该社区有两所学校，所在的位置分别在点C和点D处。CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km,DB=10km,试问：阅览室E建在距A点多远时，才能使它到C、D两所学校的距离相等？
A
E
B
D
C

例 7、如图所示，MN表示一条铁路，AB是两个城市，它们到铁路的所在直线MN的垂直距离分别AA1=20km,BB1=40km，A1B1=80km.现要在铁路A1，B1=80km。现要在铁路A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短。请你设计一种方案确定P点的位置，并求这个最短距离。
M
A1
A
B
B1
N

例8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方米B处，过了秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为米，这辆小汽车超速了吗？

例9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20分米、3分米、2分米，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是多少?

例10、直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为_______

A
B
C
D
E
例11、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端也水平滑动2米吗？试说明理由。

例12、如图2—5—4所示，某市住宅社区在相邻两楼之间修建一个仿古通道，它的上方是一个半圆，下方是长方形，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？

4米
·
图2—5—4
2.8

例13、甲、乙两船同时从A港出发，甲朝北偏东60°方向行驶，乙朝南偏东30°方向行驶。已知甲、乙两船的航速分别为45千米/时和50千米/时，经2小时航行后，试估算两船相距多少千米？（精确到0.1千米）

例14、如图1—3—10，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。
图1—3—10
B
C
A
·
6
8

【随堂练习】

一、 填空题（每空3分，共24分）
1、 若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为___________；
2、 已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形；
3、 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。请你写出三组勾股数：_________________________；

4、 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。

C=__________ b=__________ h=__________

5、 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________

一、 选择题（每题3分，共15分）
1、a、b、c是△ABC的三边，
①a=5,b=12,c=13 ②a=8,b=15,c=17 ③a∶b∶c=3∶4∶5 ④a=15,b=20,c=25
上述四个三角形中直角三角形有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为 （ ）
A、13 B、5 C、13或5 D、无法确定
3、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的 （ ）
A、4倍 B、2倍 C、不变 D、无法确定
4、正方形的面积是4，则它的对角线长是 （ ）
A、2 B、 C、 D、4
5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ）
A、6 B、 C、 D、4

二、 在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形。
（1） 从点A出发画一条线段AB，使它的另一端点B在格点上，且长度为；
（2） 画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且令两边的长度都是无理数。

三、 解答题
1、 公路旁有一棵大树高为5.4米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5米，请你通过计算说明在距离该大树多大范围内将受到影响。

2如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由。

2、 已知三角形的三边分别是n-2，n，n+2，当n是多少时，三角形是一个直角三角形？

3、 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，试计算出五边形ABCDE的周长和面积。

4、 如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？

【课后练习】
一、填空题（每题3分，共24分）
1．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（　　）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

2．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（　　）
A.338　　　　B.24　　　　　C.26　　　　　　　D.30

3．若等腰△ABC的腰长AB＝2，顶角∠BAC＝120°，以 BC为边的正方形面积为（　　）
A.3 　　　　　B.12 　　　　C.　　　　　　 D.
4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　）
A.42 　 B.32 　 C.42 或32 　 D.37 或 33

5．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）
A.15∶12∶8 B. 15∶20∶12 C. 12∶15∶20 D.20∶15∶12

6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（　　　）
A.　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.25π
7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A.2cm 　　　B.3 cm 　　　C.4 cm 　　　D.5 cm
图1
D
16cm
18cm
图2
B
A

8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（　　）
A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．

10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿.

11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．　　

12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．

13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．　

14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．

图3
15．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
……　　　　　　……
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
　　请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.　

16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a），可以计算出正方形的对角线长为；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB＝，则 DA的长度为＿＿＿．
图5
E
F
B
C
A
D
图4
（a）
（b）
（c）
（d）
图6
图7
E
D
C
B
A

第一节 平方根
［情景引入］

【知识要点】
1、平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0只有一个平方根是0；
③负数没有平方根。

2、算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即。
3、开平方
求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数，a必须为非负数，即有意义的条件是a≥0。
4、开平方与平方的关系：互为逆运算。
5、（a≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。
6、形如

【典型例题】
例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。
①； ②64； ④0.09； ⑤； ⑥0。

例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根：
①； ③0.0036； ④； ⑤；

例2、填空：
（1）= ； （2）= ；
（5）= ； （6）= ；
（9）对于任意数x，= ；

例3、求适合下列各式中未知数的值：
（1） （2）

（3） （4）

例4、已知；求x+y的值。

例5、已知，求xyz的值。

例6、x为何值时，有意义。

例7、已知的平方根是，的平方根是，求的平方根。

例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为，他要用50块正方形的花岗岩。请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？

【随堂练习】

一、选择题：
1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。
A．0 B．1 C．±1 D．0或1
2．下列语句正确的是（ ）。
A．4的平方根是2 B．0没有算术平方根
C．-1的算术平方根是-1 D．3有两个平方根
3．表示（ ）。
A．5的平方根 B．5的算术平方根
C．5的负的平方根 D．5开平方
4．9的平方根是±3，用数学符号表示为（ ）。
A． B． C． D．
5．以下各数没有平方根的是（ ）。
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）。
A．的平方根是±2 B．一定没有平方根
C．0.9的平方根是±0.3 D．一定有平方根
二、填空题：
1．49的算术平方根是 ，平方根是 。
2． 有两个平方根， 的平方根有且只有一个，
没有平方根。
3．平方根是±9的数是 。
4．-5是 的负的平方根。
5．的平方根是 ，算术平方根是 。
6．有意义，那么x的取值范围是 。
7．若，则x= ，若，则x= 。
三、解答题：
１．x为何值时，有意义。

２．若，求的值。

３．解下列方程：
（１）； （２）；

6．为了美化校园，希望中学欲在教学提前建一圆形花坛，若想使花坛的面积为6.28㎡，那么花坛的半径应为多少米？（取3.14）

1．下列各式中，正确的是（ ）。
A． B．
C． D．一定有平方根
2．平方根是±的数是（ ）
A．± B． C． D．
3．对于，当x 时，它有意义？
4．当一个数a的值为 时（在线上填入一个你认为合适的数），它有两个平方根，平方根是 。
5．一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是 。

7．求下列各式的值：
（1）； （2）；

8．解下列方程:
（1） （2）

（3）

9．若，求的值。

立 方 根
［情景引入］

【知识要点】

1、立方根的定义
一般地，如果一个数的立方等于a，即，那么这个数就叫
做a的立方根。
2、性质：正数的立方根是一个正数；
负数的立方根是一个负数；
0的立方根是0。
3、立方根的表示方法：
每个数a都只有一个立方根（立方根的唯一性），记为“”，读作
“三次根号a”。
4、开立方与立方的关系：
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。
开立方与立方互为逆运算。记：
5、开立方和小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，
则立方根的小数点就向右或向左移动一位。
6、n次方根的定义：
如果一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。
7、n次方根的性质：
（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根；
（2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负。

【典型例题】
例1-1 下列各数有立方根吗？若有，请你把它求出来；
（1）-27 （2） （3）0 （4）

（5）-1 （6）-125 （7） （8）

例1-2 求下列各式的值：
（1） （2）

（3） （4）

例2 求满足下列各式的未知数：
（1） （2）

（3） （4）

例3 已知，求的值。

例4 阅读下题，回答问题：
已知，
求的值。

（2）若，求的值。

例5 邦德学校教学楼顶上有一正方体水池，其体积为64米，求正方体底
面积是多少平方米？

例6 很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都早死了
，人们找不到水喝，于是大家一同到庙里去向神祈求。神说，我之所以不给你
们降水，是因为你们给我做的这个正方体祭坛太小，如果你们做一个比它大一
倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降雨水。大家觉得很好办，于是很已然做
好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍。可是神愈发恼
怒，他说，你们竞敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的2倍我要加倍
惩罚你们！请大家想一想，新祭坛的体积到底是原祭坛的多少倍？要做一个体
积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的棱长应是原来的多少倍？

【练习与拓展】
一、选择题
1、如果-m是n的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A、m也是n的立方根 B、m也是-n的立方根
C、-m也是-n的立方根 D、以上答案都不正确
2、的平方根与-8的立方根之和是（ ）
A、0 B、-4 C、0或-4 D、4
3、下列四个说法中：
①1的算术平方根是1； ②的立方根是±；
③-27没有立方根； ④互为相反数的两数立方根互为相反数
其中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、①④ D、②④

二、填空题
1、是 的立方根，是 的立方根。
2、的立方根是 。
3、某数的立方根等于它本身，则这个数是 。
4、一个正数的算术平方根是8，则这个数的立方根是 。
5、的平方根是 ，的立方根是 。
三、求下列各式的值：
（1） （2）

（3） （4）

四、已知且，求的值。

五、解答题
1、李师傅打算制作一个正方体水箱，使其容积是3.375，试问此木箱至少需多少木板？

2、将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的
半径是多少？（球的体积公式是）

【课后作业】
1．若，那么的值是（ ）
A、64 B、-1 C、-125 D、125
2．若，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
3．平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身是 。
4．0.064的立方根等于 ，的立方根等于 。
5．81的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。
6．求下列各式的值：
（1） （2）

7．求下列各式中的的值：
（1） （2）

（3） （4）

8．希望中学欲在教学楼顶上建一个正方体的水池，其体积为64，打算由一名建筑工人独立完成，已知该建筑工人一天可垒1米高，一天的工资为40元，问垒完水池后希望中学应付给建筑工人多少钱？

实数综合
月 日 姓 名
【知识要点】
1．实数
有理数和无理数统称为实数，实数有以下两种分类方法：
（1）按定义分类

（2）按大小分类

2．实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如：的相反数为，倒数为，的绝对值为。
3．实数与数轴上点的关系
实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。
4．实数的运算
（1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用
（2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。

一、填空题
1．在中，属于有理数的是 ，属于无理数的是 。
2．设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的实数，则 。

3．计算 ； 。
4．化简： 。
5．的相反数是 ；= 。
6．若= 。
7．计算 。
8．比较大小： 。
9．比较大小： 。
10．若是4的平方根，则x= ；若是-8的立方根，则x= 。
二、单项选择题
1．若有意义，则x的取值为（ ）
A．x﹥3 B．x﹤3
C．x≦3 D．x=3
2．下列各式中：
，计算正确的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．已知a、b是实数，下列命题中正确的是（ ）
A： B．
C D．
4．设a、b均为负实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若数轴上表示数a的点在原点左边，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列答句中不正确的是（ ）
A．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；
B．8的立方根是±2；
C．绝对值等于的实数是；
D．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。

7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．一个三角形的三边的长为，则此三角形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
9．底面为正方形的水池容积是，池深，则底面边长是（ ）
A．3.24m B．1.8m C．0.324m D．0.18m
10．已知x是169的平方根，且，则y的值是（ ）
A．65 B．±65
C． D．65或
11．设a是不等于零的有理数，b是无理数，那么下面四个数中必然为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知n为任意整数，同表示的数是（ ）
A．一定是整数 B．一定是无理数
C．一定是有理数 D．可能是有理数，也可能是无理数
13．下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）两个有理数的和是有理数
（2）两个无理数的和是无理数
（3）两个无理数的积是无理数
（4）无理数与有理数的积是无理数
（5）无理数除以有理数是无理数
（6）有理数除以无理数是无理数
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．

15．与相乘，结果为1的数是（ ）
A． B．
C． D．

16．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．数轴上表示实数x的点在表示-1的点的左边，则式子的值是（ ）
A．正数 B．-1
C．小于-1 D．大于-1
18设
之间的大小关系是（ ）
A．a﹥b﹥c B．a﹥c﹥b C．b﹥a﹥c D．c﹥b﹥a
19．若a﹤0，则的值为（ ）
A．-2a B．0 C．2a D．±2a
20．化简，甲、乙两同学的解法如下：
甲：
乙：
对于他们的解法，正确的是（ ）
A．甲、乙的解法都正确 B．甲正确、乙不正确
C．甲、乙的解法都错误 D．乙正确、甲不正确
三、解答题
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
2．已知实数x，y满足等式，求的平方根。
3．已知的平方根。
4．已知x，y是正数a的两个平方根，且，求a。
5．已知的值。
6．已知a是有理数，且，求a的值。
7．设的小数部分为b，求的值。
8．一正方形鱼池的边长是6m，另一正方形鱼池的面积比第一个大45求另一个鱼池的边长。
9．大正方形边长为，小正方形的边长为，求图中阴影部分的面积。

A
B
C
D
10．四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，AB=CD，CD=，BC=，求四边形的周长和面积。

11．求等式中字母x的值。
12．已知：x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根。

非负数的性质及应用
姓名： 日期：

【知识要点】
1、二次根式的基本性质（式子叫做二次根式）
（1）

（2）若a>b>0则。
2、最简二次根式
要满足下列条件的根式是最简二次根式：
（1）被开方数的每一个因式的指数是1。
（2）被开方数不含有分母。
3、二次根式运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
4、复合二次根式的化简：
设法找到两个正数x，y（x>y），使x＋y=a，x·y=b，则

5、非负数的三种形式：绝对值、平方项、算术平方根。

【典型例题】
例1-1 已知，求的值。

例1-2 已知，求的值。

例2 化简。

例3-1 设△ABC的三边分别是a、b、c，且。
试判断△ABC的形状

例3-2 已知，若x、y、z代表△ABC的三边，试判断△ABC的形状。

例4-1 已知，求
的值。

例4-2 已知，求
的值。

例5 已知a、b为实数，且满足，则的值是多少？

例6 若实数a，b，c满足，且，则的值为多少？

例7 若u，v满足，求的值。

例8-1 设，化简根式。

例8-2 化简。

例8-3 已知，，那么ab的值是多少？

例9 求的整数部分。

思考题：化简。

【课堂练习】
一、选择题。
1．下列等式成立的是（ ）。
A． B．
C． D．
2．已知x，y是实数，，若，则实数a的值是（ ）。
A． B． C． D．
3．实数a满足，则a是（ ）。
A．零或负数 B．非负数
C．非零实数 D．负数
4．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）。
A．大于零 B．等于零 C．不小于1 D．大于1
5．是一个实数，则x可取值的个数为（ ）。
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
6．已知实数x、y满足，则的值是（ ）。
A．0 B．5 C．2 D．-5
7．若a，b是实数，且，则a与b的大小关系是（ ）。
A．a>b B．a术平方根的倒数的相反数是 。
4．化简的结果是 。
5．代数式的值是 。
6．的值为 。
7．若则x= ,y= 。
8．若a与它的绝对值的和为零，则 。
9．等式成立的条件是 。
10．已知的结果是 。
三、解答题。
1．已知求ab+xy的值。

2．若a、b为实数，且b=。

3．设a、b、c是实数，若
a+b+c=2的值。

4．已知x+y+z=2,若x、y、z代表△ABC的三边，试判断△ABC的形状。

5．若实数a、b、c满足a=2b+
值为多少？

6．已知s、t为实数，且，求实数S3-t-1的倒数的相反数是多少？

7．化简。

8．计算：

9．化简：

、

补选题：9．的值等于（ ）。
A． B． C． D．

10．，那么xy的值是（
A． B． C． D．

11．化简得（ ）。
A． B．5- C． D．

12．式子成立的条件是（ ）。
A． B． C． D．。

13．等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两个不同的实数，则的值是（ ）。
A．3　 B． C．2 D．-3

分母有理化
月 日 姓 名

【知识要点】
1．二次根式的定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=aa≥0)，那么我们称x为a的平方根。（也称作a的二次方根），即“”可称为二次根式。
2．分母有理化的定义：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
3．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
4．有理化的因式确定方法：
①单项二次根式：利用·=a来确定，如：与，与，与等分别互为有理化因数。
②两项二次根式：利用平方差公式（a+b）(a-b)来确定。
如：a+与a-,-,a+b与a-b分别互为有理化因式。
5．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果都乘以最简二次根式的有理式。

【典型例题】
例1 化简下列各式。
①； ②； ③；

④； ⑤； ⑥；

⑦； ⑧； ⑨；

例2 计算：
① ② ③ ④

例3 比较大小。
① ②

例4 已知x=3,y=,求的值