1、4.2.1 实际问题中导数的意义一、学习要求：导数在实际生活中的应用二、学习目标能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。三、重点难点 用导数方法解决实际生活中的问题四、要点梳理解应用题的基本程序是：读题 建模 求解 反馈（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；留意的范围。 利用导数求函数的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。五、基础训练：1 周长为的矩
2、形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_。2 某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数：，生产总成本（万元）也是产量（千台）的函数：，为使利润最大，应生产产品_台。 3 一轮船以千米/时的速度航行，每小时用煤吨，千米/时，才能使轮船航行每千米用的煤最少。4 设正三棱柱的体积为，那么其表面积最小时的底面边长为_。5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是：，则总利润最大时，每年生产的产品是_个单位。六、典型例题例1 用长为18的钢条围成一个长方体外形的框架，要求长方体的长与宽之比为，问：该长方体长，宽，高各为多少时
3、，其体积最大？最大体积是多少？ 例2 经过点作直线分别交轴正半轴，轴正半轴于两点，设直线的斜率为，的面积为（1） 求关于的函数关系式；（2） 求的最小值以及相应的直线的方程。变式：有一隧道既是交通拥挤地段又是事故多发地段。为了保证平安，交通部门规定：隧道内的车距正比于车速的平方与自身长的积，且车距不得小于半个车身长。而当车速为60时，车距为个车身长。在交通繁忙时，应规定车速为多少时可以使隧道的车流量最大。例3 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A，B等距离的一点O处建筑一个污水处理厂，并铺设
4、排污管道，设排污管道的总长为。（1） 按下列要求写出函数关系式： 设将表示成的函数关系式； 设，将表示成的函数关系式。ABCDPO（2）请你选用（1）中的一个函数关系式确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。七、反思感悟八、千思百练：1 有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为_。2 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率为，则其半径增至时，半径的增长率是_。3 容积为256升的方底无盖水箱，它的高为_时最省材料4 一窗户的上部是半圆，下部是矩形，假如窗户面积确定，当圆半径与矩形的高的比为_时，窗户周长最小。5 若一球的半径为，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为
5、_。6 以长为10的线段为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为_。7用边长为48的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为_。8将水注入圆锥形容器中，其速度为，设圆锥形容器的高为，顶口直径为，求当水深为时，水面上升的速度。9 某厂生产某种电子元件，假如生产出一件正品可获利200元，假如生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率与日产量的关系是：（1）求该厂的日盈利额（元）用日产量（件）表示的函数；（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？10统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量（升）关于行驶速度（千米/时）的函数解析式可以表示为，已知甲乙两地相距100千米。（1） 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
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