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高中数学(北师大版)选修2-2教案:第5章-拓展资料:复数中数学思想.docx

1、 复数中数学思想“碰头会” 数学解题讲究的是最基本思想方法,那么复数问题中主要有哪些基本的数学思想? 1.函数思想 函数思想是一种重要的数学思想,有关复数的最值问题,常通过构造函数,利用函数的性质求解. 例1 已知复数,则的最大值是______ 解析:设出复数的代数形式,将问题转化为有关函数的最值问题. 设. ,, . ,∴当时,有最大值,故选(B). 评注:依据复数模的定义,将复数问题转化为实数问题。 2.整体思想 对于有些复数问题,若从整体上去观看、分析题设结构,充分利用复数的有关概念、共轭复数的性质与模的意义等,对问题进行整体处理,能收到简捷、明快的效果. 例2

2、 设复数和它的共轭复数满足,求复数的值. 解析:设,将化为. 由,整体代入,得, . 依据复数相等的充要条件,得 故. 评注:在求解过程中,充分利用共轭复数性质,整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法. 3.分类争辩思想 复数问题中若含有参数,经常需要依据参数的范围分类争辩. 例3 设,在内解方程. 解析:∵,,∴,  ∴为实数或纯虚数. (1)若为实数,原方程转化为,  解得; (2)若为纯虚数,  设, 于是方程转化为. ①当时,解得; ②当时,方程无解. 综上,时,,或;时,. 评注:在复数集内解含有参数的方程,根可能是实数也可能是虚数,因此需对此分类争辩. 4.数形结合思想 在处理复数问题时,机敏地运用复数的几何意义,以数思形、以形助数,可使很多问题得到直观、快捷地解决. 例4 已知虚数的模为,求的最大值. 解析:由于与为变量,且,可由已知条件得到关于与的等式,也就是动点的轨迹,再结合图1考虑的取值状况,求出最大值. 由是虚数,得, 又由,得. 这是以为圆心,为半径的圆,是圆上动点(除去)与连线的斜率,过点作圆的切线、,则斜率的最大值为. ∴的最大值为. 评注:与复数有关的最值问题通常要利用复数的几何意义。

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