2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-1)课时作业-1.1.2四种命题.docx

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课时提升作业(二)
四种命题

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2022·长春高二检测)命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是(　　)
A.若a∉A,则b∉B　　　　 B.若a∈A,则b∉B
C.若b∈B,则a∉A D.若b∉B,则a∉A
【解析】选B.命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”,“∈”与“∉”互为否定形式.
2.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是(　　)
A.邻补角不互补
B.互补的两个角是邻补角
C.不是邻补角的两个角不互补
D.不互补的两个角不是邻补角
【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.
【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.
【变式训练】“△ABC中,若∠C=90°,则∠B,∠A全是锐角”的否命题为(　　)
A.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角
B.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角
C.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角
D.以上均不对
【解析】选B.否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.
【误区警示】解答本题易毁灭选A的错误,导致毁灭这种错误的缘由是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.
3.(2022·烟台高二检测)下列命题中为真命题的是(　　)
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
【解析】选A.对于A:逆命题为若x>|y|,则x>y,真命题.
对于B:否命题为若x≤1,则x2≤1,明显此命题为假,比如x=-2命题不成立.
对于C:否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,此命题是假命题,如x=-2命题不成立.
对于D:逆否命题为:若x≤1,则x2≤0,明显此命题是假命题,故选A.
4.关于命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的叙述正确的是(　　)
A.命题的逆命题为真命题
B.命题的否命题为真命题
C.命题的逆否命题为真命题
D.以上都正确
【解析】选C.命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的逆命题为“若a≠b,则|a|≠|b|”,是假命题.
命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的否命题为“若|a|=|b|,则a=b”,是假命题.
命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的逆否命题为“若a=b,则|a|=|b|”,是真命题.
5.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题是(　　)
A.若x=y=0,则x2+y2≠0
B.若x,y都不为0,则x2+y2≠0
C.若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0
D.若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2=0
【解析】选C.将“x=y=0”否定得“x,y中至少有一个不为0”,故原命题的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”,故选C
【误区警示】解答本题易毁灭选B的错误,导致毁灭这类错误的缘由是对“x,y全为0”的否定搞不清楚所致.事实上,x,y全为0的否定为x,y中至少有一个不为0.
6.命题“若α=π4,则tanα=1”的逆否命题是(　　)
A.若α≠π4,则tanα≠1 B.若α=π4,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠π4 D.若tanα≠1,则α=π4
【解题指南】由逆否命题的概念知,否定原命题的条件,“α≠π4”作结论;否定原命题的结论,“tanα≠1”作条件.
【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠π4”,故选C.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·九江高二检测)原命题:“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数是　　　　　　　.
【解析】逆命题:若ac2>bc2,则a>b,真命题.
否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,真命题.

逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,假命题.
答案:2
8.(2022·天津高二检测)请写出命题“若a+b=2,则a2+b2≥2”的否命题:　　　　　　　　.
【解析】依据否命题的形式,原命题的否命题为“若a+b≠2,则a2+b2<2”.
答案:若a+b≠2,则a2+b2<2
9.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是　　　命题(填真、假).
【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”,是真命题.
答案:真
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2022·武汉高二检测)设命题p:若m<0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.
(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.
(2)推断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)
【解析】(1)p的逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,则m<0.
p的否命题:若m≥0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.
p的逆否命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,则m≥0.
(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.
11.推断下列命题的真假:
(1)“若x∈A∪B,则x∈B”的逆命题与逆否命题.
(2)“若自然数能被6整除,则自然数能被2整除”的逆命题.
【解析】1)逆命题:若x∈B,则x∈A∪B.依据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:若x∉B,则x∉A∪B.逆否命题为假.如2∉{1,5}=B,A={2,3},但2∈A∪B.
(2)逆命题:若自然数能被2整除,则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·重庆高二检测)已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为(　　)
A.若a≠1且a≠-1,则直线l1与l2不平行
B.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行
C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行
D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行
【解析】选A.命题“若A,则B”的否命题为“若A,则B”,明显“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.
【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是　　　　　　.
【解析】将原命题中,条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1”.
答案:若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1
2.下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“同位角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是(　　)
A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3
【解析】选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若x>-3,则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是同位角,假命题.
3.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是(　　)
A.3　　　　 B.2　　　　 C.1　　　　 D.0
【解析】选C.逆命题与否命题错误,逆否命题正确,故选C.
4.命题“若-11,则x>1或x<-1
D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
【解析】选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若q,则p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·广州高二检测)下列四个命题中:
①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题;
②“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;
③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④ “若ab≠0,则a≠0”的否命题.
其中真命题的序号是　　　　　.
【解析】①逆命题为“若一个三角形的三内角均为60°,则这个三角形为等边三角形”,是真命题;②Δ=4+4k,当k>0时,Δ>0,所以原命题为真命题,其逆否命题是真命题;③不全等的两个三角形面积也有可能相等,所以③是假命题;④否命题为“若ab=0,则a=0”,是假命题.
综上可知,真命题是①②.
答案:①②
【变式训练】有下列四个命题,其中真命题是　__________.
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相像三角形的周长相等”的否命题;③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.
【解析】①逆命题是:“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②逆命题是:“若两三角形的周长相等,则它们相像”,是假命题,所以原命题的否命题也是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0,所以③是真命题,其逆否命题也是真命题;④若A∪B=B,则A⊆B,所以原命题是假命题,其逆否命题也是假命题,所以④是假命题.综上可知①③为真命题.
答案:①③
6.(2022·成都高二检测)给出下列三个命题:
①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;
②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0;
③若x,y∈N+,x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数,其中逆命题为真命题是　　　　.
【解析】①③逆命题为真,②逆命题为假.
答案:①③
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.写出命题:若x+y=5,则x=3且y=2的逆命题、否命题与逆否命题,并推断它们的真假.
【解析】逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,是真命题.
否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,是真命题.
逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,是假命题.
【变式训练】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并推断其真假.
(1)实数的平方是非负数.
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.
(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.
【解析】(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数,真命题.
否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数,真命题.
逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数,真命题.
(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高,真命题.
否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等,真命题.
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高,假命题.
(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,真命题.
否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命题.
逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.
8.(2022·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{an}中,前n项的和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)推断公比q为何值时,逆命题为真?公比q为何值时,逆命题为假?
【解题指南】解答本题首先需依据逆命题的概念正确写出逆命题,然后依据等差数列的性质推断何时为真命题,何时为假命题.
【解析】(1)逆命题:在公比为q的等比数列{an}中,前n项和为Sn若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
(2)由{an}为等比数列,所以an≠0,q≠0.
由am,am+2,am+1成等差数列,得2am+2=am+am+1,
所以2am·q2=am+am·q,所以2q2-q-1=0.
解得q=-12或q=1.
当q=1时,an=a1(n=1,2,…),
所以Sm+2=(m+2)a1,Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,
由于2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1,
即2Sm+2≠Sm+Sm+1,
所以Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.
即q=1时,原命题的逆命题为假命题.
当q=-12时,2Sm+2=2·a1(1-qm+2)1-q,
Sm+1=a1(1-qm+1)1-q,Sm=a1(1-qm)1-q,
所以2Sm+2=Sm+1+Sm,
所以Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
即q=-12时,原命题的逆命题为真命题.
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