1、
双基限时练(十四)
1．到定点(3,5)与定直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A．圆 B．抛物线
C．线段 D．直线
解析 由于定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线．
答案 D
2．抛物线y2＝8x的准线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝－4
C．y＝－2 D．y＝－4
解析 ∵y2＝8x＝2·4x，∴p＝4，准线方程为x＝－＝－2.
答案 A
3．抛物线x2＝ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为( )
A．8 B．－8
C. D．－
解析 ∵x2＝ay的准线方程为y＝－＝2，∴a＝－
2、8.
答案 B
4．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A．(1,0) B.
C. D.
解析 由y＝2x2得，x2＝y.
∴焦点坐标为.
答案 C
5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )
A．x2＝－y，或y2＝x
B．y2＝－x，或x2＝y
C．x2＝y
D．y2＝－x
解析 ∵点(－2,3)在其次象限，
∴设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，或y2＝－2p1x(p1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p·3，或9＝－2p1(－2)，
∴2p＝，或－2p＝－，
故所求的抛物线方程为
x2＝y，
3、或y2＝－x.
答案 B
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程为__________．
解析 设抛物线方程为y2＝ax，又抛物线过点P(2,4)，则16＝2a，∴a＝8，
∴y2＝8x.
答案 y2＝8x
7．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝__________.
解析 由y2＝4x得焦点F(1,0)，代入直线方程得a＋1＝0.∴a＝－1.
答案 －1
8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_
4、．
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
由方程组
得交点坐标为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)为AB的中点，从而a＝4.
故所求抛物线方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
9．已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值，抛物线标准方程和准线方程．
解 设所求的抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
∴解得
∴m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于
5、点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．
解 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，∴△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8.
∴抛物线方程为y2＝±8x.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm，灯深为40 cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
解 如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40,30)，代入方程，得302＝2p×40，即p＝，
所求的抛物线标准方程为y2＝x，焦点(，0)．
12．若抛物线通过直线y＝x与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．
解 由得或
依据题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)或
y2＝－2mx(m>0)．
∵点在抛物线上，
∴p＝，m＝.
∴所求抛物线方程为x2＝－y或y2＝－x.
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