2021高考数学(福建-理)一轮学案23-正弦定理和余弦定理.docx

第五章 解三角形与平面对量 学案23正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.把握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题自主梳理1三角形的有关性质(1)在ABC中，ABC_；(2)ab_c，abbsin A_sin BA_B；(4)三角形面积公式：SABCahabsin Cacsin B_；(5)在三角形中有：sin 2Asin 2BAB或_三角形为等腰或直角三角形；sin(AB)sin C，sin cos .2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2Ra2_，b2_，c2_.变形形式a_，b_，c_；sin A_，sin B_，sin C_；abc_；cos A_；cos B_；cos C_.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测1(2010上海)若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A确定是锐角三角形B确定是直角三角形C确定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2(2010天津)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A等于 ()A30B60C120D1503(2011烟台模拟)在ABC中，A60，b1，ABC的面积为，则边a的值为()A2B.C.D34(2010山东)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_5(2010北京)在ABC中，若b1，c，C，则a_.探究点一正弦定理的应用例1(1)在ABC中，a，b，B45，求角A、C和边c；(2)在ABC中，a8，B60，C75，求边b和c.变式迁移1(1)在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_；(2)在ABC中，若a50，b25，A45，则B_.探究点二余弦定理的应用例2(2011咸宁月考)已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若c3a，求tan A的值变式迁移2在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B，b，ac4，求a.探究点三正、余弦定理的综合应用例3在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，假如(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试推断该三角形的外形变式迁移3(2010天津)在ABC中，.(1)证明：BC；(2)若cos A，求sin的值1解斜三角形可以看成是三角变换的连续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能毁灭一解、两解或无解的状况，应结合图形并依据“三角形中大边对大角”来推断解的状况，作出正确取舍3在解三角形中的三角变换问题时，要留意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2010湖北)在ABC中，a15，b10，A60，则cos B等于 ()AB.CD.2.在ABC中AB3，AC=2，BC=，则等于 ()ABC.D.3在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的外形为()A正三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形4(2011聊城模拟)在ABC中，若A60，BC4，AC4，则角B的大小为()A30B45C135D45或1355(2010湖南)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C120，ca，则 ()AabBa(3)(4)bcsin A(5)AB2.b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C2Rsin A2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C自我检测1C2.A3.C4.5.1课堂活动区例1解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要留意对解的状况进行推断，这类问题往往有一解、两解、无解三种状况具体推断方法如下：在ABC中已知a、b和A，求B.若A为锐角，当ab时，有一解；当absin A时，有一解；当bsin Aab时，有两解；当ab时，有一解；当ab时，无解解(1)由正弦定理得，sin A.ab，AB，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.综上，A60，C75，c，或A120，C15，c.(2)B60，C75，A45.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.变式迁移1(1)(2)60或120解析(1)在ABC中，tan A，C150，A为锐角，sin A.又BC1.依据正弦定理得AB.(2)由ba，得BA，由，得sin B，0B180B60或B120.例2解(1)a2c2b2ac，cos B.0B，B.(2)方法一将c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos A.0Aa，BA，cos A.tan A.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B，C(AB)A，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A，tan A.变式迁移2解由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，联立，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.例3解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由02A2，02B2，得2A2B或2A2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正、余弦定理，即得a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形变式迁移3解题导引在正弦定理2R中，2R是指什么？a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C的作用是什么？(1)证明在ABC中，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.由于BC，从而BC0.所以BC.(2)解由ABC和(1)得A2B，故cos 2Bcos(2B)cos A.又02B，于是sin 2B.从而sin 4B2sin 2Bcos 2B，cos 4Bcos22Bsin22B.所以sinsin 4Bcos cos 4Bsin .课后练习区1D2.D3.B4.B5.A6等边三角形解析b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)20，ac，又B60，ABC为等边三角形71解析由AC2B及ABC180知，B60.由正弦定理知，即sin A.由ab知，AB，A30，C180AB180306090，sin Csin 901.8.解析设BAD，DAC，则tan ，tan ，tanBACtan()1.BAC为锐角，BAC的大小为.9解(1)由于cos，所以cos A2cos21，sin A.(4分)又由3得bccos A3，所以bc5，因此SABCbcsin A2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)2bc20，所以a2.(12分)10解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得，cosADC，(6分)ADC120，ADB60.(8分)在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.(12分)11解(1)3b23c23a24bc，b2c2a2bc.由余弦定理得，cos A，(4分)又0A，故sin A.(6分)(2)原式(8分)(11分).所以.(14分)