1、规范练(三)概率与统计1甲,乙,丙三个同学同时报名参与某重点高校2022年自主招生,高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试,只有审核过关后才能参与文化测试,文化测试合格者即可获得自主招生入选资格由于甲,乙,丙三人各有优势,甲,乙,丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4,审核过关后,甲,乙,丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲,乙,丙三人中只有一人通过审核材料的概率;(2)求甲,乙,丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率解(1)分别记甲,乙,丙通过审核材料为大事A1,A2,A3,记甲,乙,丙三人中只有一人通过审核材料为大事B,则P(B)P(A1
2、23)P(1A23)P(12A3)0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38.(2)分别记甲,乙,丙三人中获得自主招生入选资格为大事C,D,E,记甲,乙,丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为大事F.则P(C)P(D)P(E)0.3,P(F)C0.320.7C0.330.1890.0270.216.2某中学进行了一次“环保学问竞赛”活动为了了解本次竞赛同学成果状况,从中抽取了部分同学的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计依据50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(
3、图中仅列出了得分在50,60),90,100的数据)(1)求样本容量n和频率分布直方图中x,y的值;(2)在选取的样本中,从竞赛成果是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参与环保学问宣扬的志愿者活动,设表示所抽取的3名同学中得分在80,90)的同学个数,求的分布列及其数学期望解(1)由题意可知, 样本容量n50,y0.004,x0.10.0040.0100.0160.040.030.(2)由题意可知,分数在80,90)有5人,分数在90,100)有2人,共7人,抽取的3名同学中得分在80,90)的同学个数的可能取值为1,2,3,则P(1),P(2),P(3).所以,的分布列
4、为123P所以,E()123. 3.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术竞赛,决出第一名至第五名的名次,竞赛之后甲、乙两位参赛者去询问成果,回答者对甲说“很圆满,你和乙都没有得到冠军”,对乙说“你当然不会是最差的”(1)从上述回答分析,5人的名次排列可能有多少种不同的状况;(2)竞赛组委会规定,第一名获奖金1 000元,其次名获奖金800元,第三名获奖金600元,第四及第五名没有奖金求丙获奖金数的期望解(1)由于甲和乙都没有得冠军,所以冠军是其余3人中的一个,有A种可能;乙不是第五名,可见乙是其次、第三或第四名中的一种,有A种可能;上述位置确定后,甲连同其余2人可任意排列,有A种可能,故名次
5、排列的可能状况的种数是AAA54.(2)丙可能获第一名、其次名、第三名、第四名也可能获第五名P(丙获第一名);P(丙获其次名);P(丙获第三名);P(丙获第四名);P(丙获第五名).故随机变量丙获奖金数X的可能取值为1 000、800、600、0,且P(X1 000),P(X800),P(X600),P(X0).E(X)1 000P(X1 000)800P(X800)600P(X600)0P(X0)1 000800600(元)4为了推动国家“民生工程”,某市政府现供应一批经济适用房来保障居民住房现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A,B,C3人申请,且他们的申请是相互独立的(1)求A,B两人不申请同一套住房的概率;(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为X,求X的分布列和数学期望解(1)设“A,B两人申请同一套住房”为大事N,P(N)4,所以A,B两人不申请同一套住房的概率是P()1P(N).(2)法一随机变量X可能取的值为0,1,2,3,那么P(X0)C3,P(X1)C2,P(X2)C2,P(X3)C3,所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.法二依题意得XB,所以X的分布列为P(Xk)Ck3kC,k0,1,2,3.即X0123P所以E(X)3.