2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第一章第3课时.docx

[基础达标]
1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是(　　)
A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
B．∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
解析：选D．全称命题含有量词“∀”，故排解A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．
2．(2022·湖北省八校联考)已知命题p：全部指数函数都是单调函数，则綈p为(　　)
A．全部的指数函数都不是单调函数
B．全部的单调函数都不是指数函数
C．存在一个指数函数，它不是单调函数
D．存在一个单调函数，它不是指数函数
解析：选C．命题p：全部指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数．
3．已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：若a＞b，则ac＞bc，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p或q B．綈p或q
C．綈p且q D．p且q
解析：选B．命题q：若a＞b，则ac＞bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有綈p或q为真命题．
4．(2022·深圳市调研)下列命题为真命题的是(　　)
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x－3≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1＜0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1＞0
解析：选B．对于A，“p真q假”时p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故A错；对于C，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故C错；对于D，綈p应为“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，故D错．
5．(2022·湖南六校联考)已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x＜3x，命题q：∀x∈(0，1)，log2x＜0，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：选C．由指数函数的图象与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图象与性质可知，命题q是真命题，则命题“p∧q”为假命题，命题“p∨(綈q)”为假命题，命题“(綈p)∧q”为真命题，命题“p∧(綈q)”为假命题．
6．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________________．
解析：否定为全称命题：“∀x∈R，x2＋2x＋5≠0”．
答案：∀x∈R，x2＋2x＋5≠0
7．已知命题p：“∀x∈N*，x＞”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为_填“真”或“假”)．
解析：q：∃x0∈N*，x0≤，当x0＝1时，x0＝成立，故q为真．
答案：∃x0∈N*，x0≤　真
8．(2022·安徽省名校联考)命题“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
9．已知命题p：存在一个实数x，使ax2＋ax＋1＜0.当a∈A时，非p为真命题，求集合A．
解：非p为真，即“∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真．
若a＝0，则1≥0成立，即a＝0时非p为真；
若a≠0，则非p为真⇔⇔0＜a≤4.
综上知，所求集合A＝[0，4]．
10．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p或q”为真，求实数c的取值范围．
解：∵函数y＝cx在R上单调递减，
∴0＜c＜1，即p：0＜c＜1.
∵c＞0且c≠1，∴0＜c＜1.
又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，
∴c≤，即q：0＜c≤.
∵c＞0且c≠1，∴0＜c≤.
又∵“p或q”为真，
∴p、q只要有一个为真即可．
∴0＜c＜1.
故实数c的取值范围是{c|0＜c＜1}．
[力气提升]
1．(2022·东北四市调研)已知命题p1：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0成立；p2：对任意x∈[1，2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是(　　)
A．(綈p1)∧(綈p2) B．p1∨(綈p2)
C．(綈p1)∧p2 D．p1∧p2
解析：选C．∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，
∴x2＋x＋1＜0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；
由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1.
∴对任意x∈[1，2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．
∵綈p1为真命题，p2为真命题，
∴(綈p1)∧p2为真命题．
2．(2022·湖南省五市十校联合检测)下列命题中是假命题的是(　　)
A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．∀a＞0，函数f(x)＝(ln x)2＋ln x－a有零点
解析：选B．对于A，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B，当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数；对于C，当m＝2时，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝，满足条件；对于D令ln x＝t，∀a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，恒有解，故满足条件．
3．命题“∀x∈R，∃m∈Z，m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：由于∀x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥，因此只需m2－m＜，即－＜m＜，所以当m＝0或m＝1时，∀x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此命题是真命题．
答案：真
4．已知下列命题：
①命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；
②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)为真命题”；
③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中全部真命题的序号是________．
解析：命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(綈p)∧(綈q)为真命题，故②正确；a＞5⇒a＞2，但a＞2⇒/ a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错；由于“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．
答案：②
5．(2022·湖南省五市十校高三第一次联合检测)已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
解：(1)作出函数f(x)的图象(图略)，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min＝f(－2)＝1.
(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；
对于命题q，m2－1＞1，故m＞或m＜－.
由于“p或q”为真，“p且q”为假，则
①若p真q假，则解得－≤m≤1.
②若p假q真，则，解得m＜－3或m＞.
故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．
6．(选做题)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.
又a＞0，所以a＜x＜3A．
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，
实数x的取值范围是1＜x＜3.
由解得即2＜x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.
若p∧q为真，则⇔2