2、)
A．－ B.
C．－ D.
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D．－1
5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
A．1 B.
C. D.
6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断削减，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已
3、知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( )
A．5太贝克 B．75ln2太贝克
C．150ln2 太贝克 D．150太贝克
二、填空题
7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，
则f′(0)＝________.
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函数y＝f (x)的图象在点P(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则a＝________.
9．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(
4、2)y＝；
11．已知曲线f(x)＝e2x－1在点A处的切线和曲线g(x)＝e－2x－1在点B处切线相互垂直，O为坐标原点且·＝0，求△AOB的面积．
12．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)．
(1)求过点P的切线方程；
(2)求证：与曲线S切于点(x0，y0)( x0≠0)的切线与S至少有两个交点．
详解答案
一、选择题
1. 解析：由导数的几何意义可知，f′(2)、f′(3)分别表示曲线在x＝2，x＝3处的切线的斜率，而f(3)－f(2)表示直线AB的斜率，即kAB＝f(3)－f(2)．
由图形可
5、知06、到直线y＝x－2距离为d＝＝.
答案：B
6．解析：由于M′(t)＝－M02·ln2，所以M′(30)＝－M0ln2＝－10ln2.所以M0＝600.所以M(t)＝600×2.所以M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．
答案：D
二、填空题
7．解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
答案：－4
8．解析：f′(x)＝－3x2＋a，y＝f(x)的图象在点P处的切线的倾斜角为，即f′(1)＝tan，∴－3＋a＝1，
解得a＝4.
答案：4
9．解析：曲线f(x)＝a
7、x5＋lnx存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有解．
又∵f′(x)＝5ax4＋，
∴方程5ax4＋＝0有解．
∴5ax5＝－1有解．
又∵x>0，∴a<0.
故实数a的取值范围是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
三、解答题
10．解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)法一：y′＝
＝＝.
法二：∵y＝＝1＋，
∴y′＝1′＋()′，即y′＝.
11．解：f′(x)＝e2x－1·(2x－1)′＝e2x－1，
g′(x)＝e－2x－1·(－2x－1)′＝－e－2x－1，
设A(x1，y1)，B(x2
8、y2)，
∴＝y1，y2＝，
f′(x1)＝，g′(x2)＝，
∴x1－x2＝1，x1x2＝－，
∴x1＝，x2＝－，
∴y1＝，y2＝，
∴OA＝，OB＝，
即A(，)，B(－，)．
∵·＝0，
∴⊥，
∴S△AOB＝××＝.
12．解：(1)设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0－x.
又f′(x)＝3－3x2，∴切线斜率k＝＝3－3x.
即3x0－x－2＝(x0－2)(3－3x)．
∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0.
解得x0＝1或x0＝1±.
相应的斜率k＝0或k＝－9±6，
∴切线方程为y＝2或y＝(－9±6)(x－2)＋2.
(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为
y－y0＝(3－3x)(x－x0)，
与曲线S的方程联立，消去y，
得3x－x3－y0＝3(1－x)·(x－x0)，
即3x－x3－(3x0－x)＝3(1－x)(x－x0)．
即(x－x0)2(x＋2x0)＝0，则x＝x0或x＝－2x0，
因此，与曲线S切于点(x0，y0)(x0≠0)的切线，与S至少有两个交点．
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