1、
解析几何经典精讲(上)课后练习
主讲老师：王老师 北京市重点中学数学特级老师
题一： 椭圆C：＋ ＝1(a > b > 0)的离心率为 ，长轴端点与短轴端点间的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点D(0，4)的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．
题二： 已知直线l： y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a > b > 0)的离心率e＝ ，直线l 被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．
2、
题三： 已知椭圆＋ ＝1(a > b > 0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率．
题四： 如图，已知椭圆C： ＋ ＝1(a > b > 0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y 2＝r 2(r > 0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的最小值，并求此时圆T的方程；
(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|·|OS|为定值．
3、
解析几何经典精讲(上)
课后练习参考答案
题一： (1) ＋y2＝1.(2) k的值为±或±.
详解：(1)由已知 ＝ ，a 2＋b 2＝5，
又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y 2＝1.
(2)依据题意，过点D(0，4)满足题意的直线斜率存在，设l：y＝kx＋4，
联立消去y，得(1＋4k 2)x 2＋32kx＋60＝0，
Δ＝(32k)2－240(1＋4k2)＝64k2－240，令Δ > 0，解得k 2 > .
设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
①当∠EOF为直角时，
则x1＋x2＝
4、 － ，x1x2＝ ，
由于∠EOF为直角，所以·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
所以(1＋k 2)x1x2＋4k (x1＋x2)＋16＝0，
所以 － ＋4＝0，
解得k＝±.
②当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，
此时，kOE · k＝－1，所以 × ＝－1，
即x＝4y1－y，①
又＋y＝1，②
将①代入②，消去x1得3y＋4y1－4＝0，
解得y1＝ 或y1＝－2(舍去)，
将y1＝代入①，得x1＝±，
所以k＝ ＝±，
经检验，所求k值均符合题意，
综上，k的值为±或±.
题二： (1) ＋＝1.(2) 略.
详解：(1)
5、设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝ ＝，
所以b＝＝.
由题意知所以a2＝3，b2＝2.
所以椭圆E的方程为 ＋ ＝1.
(2)设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，
联立直线l0与椭圆E的方程得消去y，
得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，
所以Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，
整理得(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0.
设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，
则k1·k2＝ － ，
由于点P在圆O上，
6、所以x＋y＝5，所以k1·k2＝－ ＝－1.
故两条切线的斜率之积为常数－1.
题三： (1) .(2)k＝±.
详解：(1)由于点P在椭圆上，故＋ ＝1，可得 ＝ .
于是e2＝ ＝1－ ＝ ，
所以椭圆的离心率e＝ .
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得
消去y0并整理得x ＝ . ①
由|AQ|＝|AO|， A(－a，0)及y0＝kx0得，(x0＋a)2＋k2x ＝a2，
整理得(1＋k2)x ＋2ax0＝0.
而x0≠0，故x0＝ .代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k2 • ＋4.
由(1)知 ＝
7、 ，故(1＋k 2)2＝ k 2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直线OQ的斜率k＝±.
题四： (1) ＋y 2＝1.(2) (x＋2)2＋y 2＝ .(3) 略.
详解：(1)依题意，得a＝2，e＝ ＝ ，
所以c＝，b＝＝1.
故椭圆C的方程为＋y 2＝1.
(2)易知点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1 > 0.
由于点M在椭圆C上，所以y ＝1－.(*)
由已知T(－2，0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，
所以＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)
＝(x1＋2)2－y ＝(x1＋2)2－＝ x＋4x1＋3＝ 2－ .
由于－2 < x1 < 2，故当x1＝－ 时，取得最小值－.
把x1＝－代入(*)式，得y1＝ ，故M ，
又点M在圆T上，代入圆的方程得r 2＝ .
故圆T的方程为(x＋2)2＋y2＝ .
(3)设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：y－y0＝ (x－x0)，
令y＝0，得xR＝ ，同理：xS＝ ，故xR·xS＝ .(**)
又点M与点P在椭圆上，故x ＝4(1－y )，x＝4(1－y)，
代入(**)式，得xR · xS＝ ＝4 ＝4.
所以|OR|·|OS|＝|xR|·|xS|＝|xR · xS|＝4为定值．
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