《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习-第三章-第4讲-简单的三角恒等变换-轻松闯关.docx

1．(2021·青岛模拟)设tan＝，则tan＝(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．2
C．－4 D．4
解析：选C.由于tan＝＝，所以tan α＝，故tan＝＝－4.故选C.
2.的值为(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选D.原式＝＝＝－.
3．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)
A. B.或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选C.由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
又0<α＋β<π，故α＋β＝.
4．若0<α<，－<β<0，cos＝，sin＝，则cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C.由已知得<＋α<，<－<，所以sin＝，cos＝，
cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
5．已知a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈，若a·b＝，则tan的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.∵a·b＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)
＝1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝1－sin α＝，
∴sin α＝，∵α∈，∴cos α＝－，
∴tan α＝－，∴tan＝＝.
6．已知点P(sinπ，cosπ)落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则tan(θ＋)的值为________．
解析：∵点P坐标为(，－)，
∴θ为第四象限角，tan θ＝－1，
∴tan(θ＋)＝＝
＝2－.
答案：2－
7．(2021·东北三校第一次联考)若cos－sin α＝，则sin＝________．
解析：∵cos－sin α＝，
∴cos αcos－sin αsin－sin α＝，
∴cos α－sin α＝，∴cos＝.
∴sin＝cos
＝cos＝.
答案：
8．设α是其次象限角，tan α＝－，且sin ＜cos ，则cos ＝________．
解析：∵α是其次象限角，∴可能在第一或第三象限．又sin ＜cos ，∴为第三象限角，∴cos ＜0.
∵tan α＝－，
∴cos α＝－，∴cos ＝－＝－.
答案：－
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈(0，)，
得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈(，π)，β∈(0，)，
∴＜α＋β＜，
∴α＋β＝.
10．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
解：(1)法一：∵cos＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，
∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.
法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β－<π，<α＋β<.
∴sin>0，cos(α＋β)<0，
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.

1．(2021·高考重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A. B.
C. D．2－1
解析：选C.4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝＝
＝
＝＝·＝.
2．(2021·杭州市其次次模拟)在△ABC中，若3cos2＋5cos2＝4，则tan C的最大值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－2
解析：选B.由已知3cos2＋5cos2＝4⇒3·＋5·＝4⇒3cos(A－B)＋5cos C＝0.
3cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0⇒cos Acos B＝4sin Asin B⇒tan Atan B＝，由此可知，tan A>0，tan B>0.
又tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－(tan A＋tan B)≤－，其中tan A＋tan B≥2＝1，因此，tan C的最大值为－，故选B.
3．若＝3，tan(x－y)＝2，则tan(y－2x)＝________．
解析：由＝3，
得＝3，即tan x＝2.
tan(y－x)＝－tan(x－y)＝－2，
∴tan(y－2x)＝＝＝.
答案：
4．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)＝________．
解析：∵sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，
两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－＜0，∴0＜α＜β＜.
∴－＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
答案：－
5．求值：－sin 10°.
解：原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
6．(选做题)已知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解：(1)∵tan ＝，
∴tan α＝＝＝.
由
解得sin α＝(sin α＝－舍去)．
(2)由(1)知cos α＝＝＝，
又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝.
∴sin(β－α)＝＝＝，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin (β－α)
＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.