2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第2章-第2讲-函数的单调性与最值.docx

第 2 讲 函数的单调性与最值 一、选择题 1下列函数中，既是偶函数又在(0，)内单调递减的函数是()Ayx2 By|x|1 Cylg|x|Dy2|x|解析 对于 C 中函数，当 x0 时，ylg x，故为(0，)上的减函数，且 ylg|x|为偶函数 答案 C 2已知函数f(x)为 R 上的减函数，则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(1,0)(0,1)D(，1)(1，)解析 f(x)在 R 上为减函数且f(|x|)f(1)，|x|1，解得x1 或x1.答案 D 3若函数yax与ybx在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A增函数 B减函数 C先增后减 D先减后增 解析 yax与ybx在(0，)上都是减函数，a0，b0，yax2bx的对称轴方程xb2a0，0，x0，1，x1，0，x1，x2，xK，取函数 f(x)2|x|，当 K12时，函数 fK(x)的单调递增区间 为 ()A(，0)B(0，)C(，1)D(1，)解析 f12(x)2|x|，2|x|12，12，2|x|12 f12(x)12|x|，x1或x1，12，1x1.f12(x)的图象如右图所示，因此 f12(x)的单调递增区间为(，1)答案 C 二、填空题 7设函数 yx22x，x2，a，若函数的最小值为 g(a)，则 g(a)_.解析 函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线 x1.当2a1 时，函数在2，a上单调递减，则当 xa 时，ymina22a；当 a1 时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当 x1 时，ymin1.综上，g(a)a22a，2a1，1，a1.答案 a22a，2a0，x23x x0.作出该函数的图像，观看图像知递增区间为0，32.答案 0，32 9 已知函数f(x)2ax24(a3)x5 在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是_ 解析 当a0 时，f(x)12x5 在(，3)上为减函数；当a0 时，要使f(x)2ax24(a3)x5 在区间(，3)上是减函数，则对称轴x3aa必在x3 的右边，即3aa3，故 0a34；当a0 时，不行能在区间(，3)上恒为减函数综合知：a的取值范围是0，34.答案 0，34 10已知函数 f(x)ex2，x0，2ax1，x0(a 是常数且 a0)对于下列命题：函数 f(x)的最小值是1；函数 f(x)在 R 上是单调函数；若 f(x)0 在12，上恒成立，则 a 的取值范围是 a1；对任意的 x10，x20 且 x1x2，恒有 fx1x220 在成立，则 2a1210，a1，故正确；由图象可知在(，fx1fx22成0)上对任意的 x10，x20 且a1)的单调区间 解 当a1 时，函数ya1x2在区间0，)上是减函数，在区间(，0上是增函数；当 0ax12，则 f(x1)f(x2)x21ax1x22ax2x1x2x1x2x1x2(x1x2)a，由 x2x12，得 x1x2(x1x2)16，x1x20.要使 f(x)在区间2，)上是增函数，只需 f(x1)f(x2)0 恒成立，则 a16.13已知函数 f(x)a 2xb 3x，其中常数 a，b 满足 ab0.(1)若 ab0，推断函数 f(x)的单调性；(2)若 abf(x)时的 x 的取值范围 解(1)当 a0，b0 时，由于 a 2x，b 3x都单调递增，所以函数 f(x)单调递增；当 a0，b0.(i)当 a0 时，32xa2b，解得 xlog32a2b；(ii)当 a0，b0 时，32xa2b，解得 x0 时，f(x)1.(1)求证：f(x)是 R 上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.解(1)证明 设x1，x2R，且x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即f(x)是 R 上的增函数(2)f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，原不等式可化为f(3m2m2)f(2)，f(x)是 R 上的增函数，3m2m22，解得1m43，故解集为1，43.