2021高考数学(福建-理)一轮作业：10.1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx

§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　　)
A
B
C

D

A．72种 B．48种
C．24种 D．12种
解析 先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，
D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．
答案 A
2．如图，用6种不同的颜色把
图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域
不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)．
A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
解析　从A开头，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)，故选C.
答案　C
3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　 　)．
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
解析 分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最终乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24（种），故选C
答案 C
4．有4位老师在同一班级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位老师不能在本班监考，则监考的方法有(　　)
A．8种 B．9种
C．10种 D．11种
解析 分四步完成，共有3×3×1×1＝9种．
答案 B
5．假如一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)．
A．60 B．48 C．36 D．24
解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.
答案　B
6．高三班级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参与社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必需有班级要去，则不同的支配方案有(　　)．
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
解析　三个班去四个工厂不同的支配方案共43种，甲工厂没有班级去的支配方案共33种，因此满足条件的不同的支配方案共有43－33＝37(种)．
答案　C
7．4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有(　　)．
A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
解析　分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有C种不同选法，其次步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有C×2×2＝24(种)．
答案　B
二、填空题
8．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，其次行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的全部排列的个数是________．(用数字作答)
解析　由已知数字6确定在第三行，第三行的排法种数为AA＝60；剩余的三个数字中最大的确定排在其次行，其次
行的排法种数为AA＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.
答案　240
9.数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则全部填写空格的方法共有________种．

4

解析　必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法．
答案　12
10．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有________种(用数字作答)．
解析 分两步：(1)先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，共有5种排法；(2)再排a2，a4，a6，共有A＝6种排法，故不同的排列方法有5×6＝30种．
答案 30
11．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的全部涂法共有________种.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解析 分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C(2×2＋C×1)×(2×2＋C×1)＝3×6×6＝108.
答案 108
12．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在全部不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．(结果用数值表示)
答案 21；43
三、解答题
13．如右图所示三组平
行线分别有m、n、k条，在此图形中
(1)共有多少个三角形？
(2)共有多少个平行四边形？
解析　(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．
(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CC＋CC＋CC个平行四边形．

14. 编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必需放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？
解析 依据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则依据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则依据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E有A＝6种不同的放法，依据分步乘法计数原理得，3×3×2×1＝18种不同方法．
综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
15．现支配一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？
解析　可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人．
星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法；
星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法；
同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．
16．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．
(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？
(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？
(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？

解析　(1)明显对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．
(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．
(3)分为如下四类：
第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；
其次类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C·C＝12种方法；
第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C·C＝6种方法；
第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C·C＝12种方法．
所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．