1、一、一、k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式二、拉普拉斯二、拉普拉斯(Laplace)定理定理三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第1页一、一、k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级级行列式行列式 D 中任意中任意选选定定 k 行行 k 列列按照按照原来次序原来次序组组成一个成一个 k 级级行列式行列式 M，称，称为为行列行列 ()，位于位于这这些行和列交些行和列交叉点上叉点上 个元素个元素式式 D 一个一个 k 级子式级子式；在；在 D 中划去这中划去这 k 行行 k 列后列后 式式 ，称
2、称为为 k 级级子式子式 M 余子式余子式；余下元素按照原来次序组成余下元素按照原来次序组成 级级 行列行列 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第2页若若 k 级子式级子式 M 在在 D 中所在行、列指标分别是中所在行、列指标分别是，则则在在 M 余子式余子式前前后称之后称之为为 M 代数代数加上符号加上符号余子式余子式，记为记为 .注：注：k 级级子式不是唯一子式不是唯一.（任一（任一 n 级行列式有级行列式有 个个 k 级级子式）子式）时时，D本身本身为为一个一个n级级子式子式时时，D中每个元素都是一个中每个元素都是一个1级级子式；子式；数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第3页二
3、二、拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理引理引理行列式行列式 D 任一子式任一子式 M 与它代数余子式与它代数余子式 A乘积中每一项都是行列式乘积中每一项都是行列式 D 展开式中展开式中一项，而且符号也一致一项，而且符号也一致数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第4页Laplace Laplace 定理定理由由这这 k 行行元素所组成一切元素所组成一切k级子式与它们级子式与它们设设在行列式在行列式 D 中任意取中任意取 k()行，行，代数余子式乘积和等于代数余子式乘积和等于 D即即若若 D 中取定中取定 k 行后，由行后，由这这 k 行得到行得到 k 级级子式子式则则 .，它，它们对
4、应们对应代数余子代数余子式分别为式分别为为为数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第5页 时，时，即为行列式即为行列式 D 按某行展开；按某行展开；注：注：为行列式为行列式 D 取定前取定前 k 行利用行利用Laplace 定理结果定理结果 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第6页例例1：计算行列式：计算行列式 解解：,.它们代数余子式为它们代数余子式为数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第7页,.数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第8页三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则设设有两个有两个n 级级行列式行列式其中其中则则数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第9页证：证：作一个作一个
5、2n级行列式级行列式由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第10页又又对对D作初等行作初等行变换变换：可得可得这这里里数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第11页从而从而 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第12页例例2：证实齐次性方程组：证实齐次性方程组只有零解其中只有零解其中 不全为不全为0数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第13页证：证：系数行列式系数行列式 数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第14页由由 不全不全为为0，有，有即即 ，故方程，故方程组组只有零解只有零解数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第15页 例例3 设设证实：证实：其中其中为元素为元素代数余子式。代数余子式。数学科学学院数学科学学院 李本星李本星第16页
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