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第一章第1页一、基本概念1.1.集合集合:含有某种特定性质事物含有某种特定性质事物总体总体.组成这个集合事物称为该集合组成这个集合事物称为该集合元素元素.有限集有限集无限集无限集第2页数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间关系数集间关系:比如比如不含任何元素集合称为不含任何元素集合称为空集空集.比如比如,要求要求空集为任何集合子集空集为任何集合子集.第3页2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间全体实数是指介于某两个实数之间全体实数.这这两个实数叫做区间端点两个实数叫做区间端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,第4页称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度定义区间长度定义:两端点间距离两端点间距离(线段长度线段长度)称为区间长度称为区间长度.第5页3.3.邻域邻域:第6页4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变量称为在某过程中数值保持不变量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言而言.通惯用字母通惯用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值改变量称为而数值改变量称为变量变量.常量与变量表示方法：常量与变量表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变量变量.第7页5.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:第8页二、函数概念例例 圆内接正多边形周长圆内接正多边形周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)第9页因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数叫做这个函数定义域定义域第10页自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数两要素函数两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取使算式有意义一定义域是自变量所能取使算式有意义一切实数值切实数值.第11页定义定义:假如自变量在定假如自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应函数值总是时，对应函数值总是只有一个，这种函数只有一个，这种函数叫做单值函数，不然叫做单值函数，不然叫与多值函数叫与多值函数第12页 (1)符号函数符号函数几个特殊函数举例几个特殊函数举例1-1xyo第13页(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超出表示不超出 最大整数最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线第14页在自变量不一样改变范围中在自变量不一样改变范围中,对应法则用不一样对应法则用不一样式子来表示函数式子来表示函数,称为称为分段函数分段函数.第15页例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所表示所表示,写出电压写出电压U与时间与时间 函数关系式函数关系式.解解单三角脉冲信号电压单三角脉冲信号电压第16页第17页例例2 2解解故故第18页三、函数特征M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数有界性函数有界性:第19页2函数单调性函数单调性:xyo第20页xyo第21页3函数奇偶性函数奇偶性:偶函数偶函数yxox-x第22页奇函数奇函数yxox-x第23页4函数周期性函数周期性:（通常说周期函数周期是指其最小正（通常说周期函数周期是指其最小正周期周期）.第24页四、反函数DWDW第25页 直接函数与反函数图形关于直线直接函数与反函数图形关于直线 对称对称.第26页例例3 3解解单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,第27页五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数概念函数概念函数特征函数特征有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数第28页思索题思索题第29页思索题解答思索题解答设设则则故故第30页练练 习习 题题第31页第32页练习题答案练习题答案第33页一、基本初等函数1.幂函数幂函数第34页2.指数函数指数函数第35页3.对数函数对数函数第36页4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数第37页余弦函数余弦函数第38页正切函数正切函数第39页余切函数余切函数第40页正割函数正割函数第41页余割函数余割函数第42页5.反三角函数反三角函数第43页第44页第45页 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.第46页二、复合函数 初等函数1.复合函数复合函数定义定义:第47页注意注意:1.不是任何两个函数都能够复合成一个复不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数合函数;2.复合函数能够由两个以上函数经过复合复合函数能够由两个以上函数经过复合组成组成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用一一个式子表示个式子表示函数函数,称为称为初等函数初等函数.第48页四、小结函数分类函数分类:函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有没有穷多项等函有没有穷多项等函数数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)第49页思索题思索题第50页思索题解答思索题解答不能不能第51页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第52页第53页练习题答案练习题答案第54页第55页一、基本初等函数1.幂函数幂函数第56页2.指数函数指数函数第57页3.对数函数对数函数第58页4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数第59页余弦函数余弦函数第60页正切函数正切函数第61页余切函数余切函数第62页正割函数正割函数第63页余割函数余割函数第64页5.反三角函数反三角函数第65页第66页第67页 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.第68页二、复合函数 初等函数1.复合函数复合函数定义定义:第69页注意注意:1.不是任何两个函数都能够复合成一个复不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数合函数;2.复合函数能够由两个以上函数经过复合复合函数能够由两个以上函数经过复合组成组成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用一一个式子表示个式子表示函数函数,称为称为初等函数初等函数.第70页四、小结函数分类函数分类:函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有没有穷多项等函有没有穷多项等函数数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)第71页思索题思索题第72页思索题解答思索题解答不能不能第73页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第74页第75页练习题答案练习题答案第76页第77页播放播放一、自变量趋向无穷大时函数极限第78页经过上面演示试验观察经过上面演示试验观察:问题问题:怎样用数学语言刻划函数怎样用数学语言刻划函数“无限靠近无限靠近”.第79页第80页2.另两种情形另两种情形:第81页3.几何解释几何解释:第82页例例1证证第83页二、自变量趋向有限值时函数极限第84页第85页2.几何解释几何解释:注意：注意：第86页例例2证证例例3证证第87页例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.第88页例例5证证第89页3.单侧极限单侧极限:比如比如,第90页左极限左极限右极限右极限第91页左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证第92页三、函数极限性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性第93页推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理(保序性保序性)第94页定理定理(保号性保号性)推论推论第95页比如比如,函数极限与数列极限关系函数极限与数列极限关系函数极限存在充要条件是它任何子列极限都存函数极限存在充要条件是它任何子列极限都存在在,且相等且相等.第96页例例7证证第97页二者不相等二者不相等,第98页四、小结函数极限统一定义函数极限统一定义(见下表见下表)第99页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 第100页思索题思索题第101页思索题解答思索题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.第102页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第103页第104页练习题答案练习题答案第105页一、无穷小1.定义定义:极限为零变量称为极限为零变量称为无穷小无穷小.第115页比如比如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小数混同不能与很小数混同;2.零是能够作为无穷小唯一数零是能够作为无穷小唯一数.第116页2.无穷小与函数极限关系无穷小与函数极限关系:证证 必要性必要性充分性充分性第117页意义意义1.将普通极限问题转化为特殊极限问题将普通极限问题转化为特殊极限问题(无无穷小穷小);3.无穷小运算性质无穷小运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小代数和仍有限个无穷小代数和仍是无穷小是无穷小.证证第118页注意注意无穷多个无穷小代数和未必是无穷小无穷多个无穷小代数和未必是无穷小.第119页定理定理3 有界函数与无穷小乘积是无穷小有界函数与无穷小乘积是无穷小.证证第120页推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限变量与无穷小乘积是有极限变量与无穷小乘积是无穷小无穷小.推论推论2 常数与无穷小乘积是无穷小常数与无穷小乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小乘积也是无穷小有限个无穷小乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小第121页二、无穷大绝对值无限增大变量称为绝对值无限增大变量称为无穷大无穷大.第122页特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大数混同不能与很大数混同;3.无穷大是一个特殊无界变量无穷大是一个特殊无界变量,不过无界不过无界变量未必是无穷大变量未必是无穷大.第123页不是无穷大不是无穷大无界，无界，第124页证证第125页三、无穷小与无穷大关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大倒数为无穷小无穷大倒数为无穷小;恒恒不为零无穷小倒数为无穷大不为零无穷小倒数为无穷大.证证第126页意义意义 关于无穷大讨论关于无穷大讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小讨论讨论.第127页四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言无穷小与无穷大是相对于过程而言.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）数混不能与很小（大）数混同，零是唯一无穷小数；同，零是唯一无穷小数；（2 2）无穷多个无穷小代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.第128页思索题思索题第129页思索题解答思索题解答不能确保不能确保.例例有有第130页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第131页第132页练习题答案练习题答案第133页一、极限运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得第134页第135页推论推论1 1常数因子能够提到极限记号外面常数因子能够提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，第136页二、求极限方法举例例例1 1解解第137页小结小结:第138页解解商法则不能用商法则不能用由无穷小与无穷大关系由无穷小与无穷大关系,得得例例2 2第139页解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)第140页例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)第141页小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量最高次幂除分子以分母中自变量最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.第142页例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.第143页例例6 6解解第144页例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,第145页三、小结1.极限四则运算法则及其推论极限四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.第146页思索题思索题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为何？何？第147页思索题解答思索题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误第148页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第149页二、求以下各极限二、求以下各极限:第150页第151页练习题答案练习题答案第152页一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则证证第153页上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在准则能够推广到函数极限上述数列极限存在准则能够推广到函数极限第154页注意注意:准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.第155页例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得第156页2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调降低单调降低单调数列单调数列几何解释几何解释:第157页例例2 2证证(舍去舍去)第158页二、两个主要极限(1)第159页第160页例例3 3解解第161页(2)定义定义第162页类似地类似地,第163页第164页第165页例例4 4解解例例5 5解解第166页三、小结1.两个准则两个准则2.两个主要极限两个主要极限夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.第167页思索题思索题求极限求极限第168页思索题解答思索题解答第169页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第170页二、求以下各极限二、求以下各极限:第171页第172页练习题答案练习题答案第173页一、无穷小比较比如比如,极限不一样极限不一样,反应了趋向于零反应了趋向于零“快慢快慢”程度不程度不一样一样.不可比不可比.观察各极限观察各极限第174页定义定义:第175页例例1 1解解例例2 2解解第176页惯用等价无穷小惯用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数近似表示式用等价无穷小可给出函数近似表示式:比如比如,第177页二、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证第178页例例3 3解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意第179页例例4 4解解解解错错第180页例例5 5解解第181页三、小结1.无穷小比较无穷小比较:反应了同一过程中反应了同一过程中,两无穷小趋于零速度快两无穷小趋于零速度快慢慢,但并不是全部无穷小都可进行比较但并不是全部无穷小都可进行比较.2.等价无穷小替换等价无穷小替换:求极限又一个方法求极限又一个方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小阶无穷小阶.第182页思索题思索题任何两个无穷小量都能够比较吗？任何两个无穷小量都能够比较吗？第183页思索题解答思索题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时第184页练练 习习 题题第185页第186页第187页练习题答案练习题答案第188页第189页一、函数连续性1.函数增量函数增量第190页2.连续定义连续定义第191页第192页例例1 1证证由定义由定义2知知第193页3.单侧连续单侧连续定理定理第194页例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,第195页4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续函数在区间上每一点都连续函数,叫做在该区间上叫做在该区间上连连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数图形是一条连续而不间断曲线连续函数图形是一条连续而不间断曲线.比如比如,第196页例例3 3证证第197页二、函数间断点第198页1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解第199页2.可去间断点可去间断点例例5 5第200页解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数定义数定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.第201页如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点第202页3.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解第203页例例7 7解解注意注意 不要认为函数间断点只是个别几个点不要认为函数间断点只是个别几个点.第204页狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.第205页在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断以下间断点类型判断以下间断点类型:第206页例例8 8解解第207页三、小结1.函数在一点连续必须满足三个条件函数在一点连续必须满足三个条件;3.间断点分类与判别间断点分类与判别;2.区间上连续函数区间上连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下列见下列图图)第208页可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyxoyxoyx第209页思索题思索题第210页思索题解答思索题解答且且第211页但反之不成立但反之不成立.例例但但第212页练练 习习 题题第213页第214页练习题答案练习题答案第215页第216页一、四则运算连续性定理定理1 1比如比如,第217页二、反函数与复合函数连续性定理定理2 2 严格单调连续函数必有严格单调连续反严格单调连续函数必有严格单调连续反函数函数.比如比如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第218页定理定理3 3证证第219页将上两步合起来将上两步合起来:第220页意义意义1.极限符号能够与函数符号交换极限符号能够与函数符号交换;例例1 1解解第221页例例2 2解解同理可得同理可得第222页定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3特殊情况特殊情况.比如比如,第223页三、初等函数连续性三角函数及反三角函数在它们定义域内是连三角函数及反三角函数在它们定义域内是连续续.第224页定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续基本初等函数在定义域内是连续.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续续.定义区间是指包含在定义域内区间定义区间是指包含在定义域内区间.第225页1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;比如比如,这些孤立点邻域内没有定义这些孤立点邻域内没有定义.在在0点邻域内没有定义点邻域内没有定义.注意注意注意注意2.初等函数求极限方法初等函数求极限方法代入法代入法.第226页例例3 3例例4 4解解解解第227页四、小结连续函数和差积商连续性连续函数和差积商连续性.复合函数连续性复合函数连续性.初等函数连续性初等函数连续性.定义区间与定义域区分定义区间与定义域区分;求极限又一个方法求极限又一个方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数连续性反函数连续性.第228页思索题思索题第229页思索题解答思索题解答是它可去间断点是它可去间断点第230页练练 习习 题题第231页第232页第233页练习题答案练习题答案第234页一、最大值和最小值定理定义定义:比如比如,第235页定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.第236页定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续函函数数一一定定在在该区间上有界该区间上有界.证证第237页二、介值定理定义定义:第238页几何解释几何解释:第239页几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,第240页推论推论 在闭区间上连续函数必取得介于最大值在闭区间上连续函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间任何值之间任何值.例例1 1证证由零点定理由零点定理,第241页例例2 2证证由零点定理由零点定理,第242页三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根存在性定理根存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思绪解题思绪1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;第243页思索题思索题下述命题是否正确？下述命题是否正确？第244页思索题解答思索题解答不正确不正确.例函数例函数第245页练练 习习 题题第246页（一）函数定义（一）函数定义（二）极限概念（二）极限概念（三）连续概念（三）连续概念一、主要内容第一章习题课第一章习题课第247页函函 数数定义定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数性质性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数第248页1 1、函数定义、函数定义第249页函数分类函数分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有没有穷多项等函有没有穷多项等函数数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)第250页(1)单值性与多值性单值性与多值性:2 2、函数性质、函数性质第251页(2)函数奇偶性函数奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo第252页(3)函数单调性函数单调性:设函数设函数f(x)定义域为定义域为D，区间，区间I D，假如对于区间，假如对于区间I上任上任意两点意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加单调增加；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减单调递减；单调增加和单调降低函数统称为单调增加和单调降低函数统称为单调函数单调函数。第253页(4)函数有界性函数有界性:第254页 设函数设函数 f(x)定义域为定义域为D，假如存在一个不为零数，假如存在一个不为零数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒恒成立成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)周期周期.（通常说（通常说周期函数周期是指其最小正周期函数周期是指其最小正周期周期）.(5)函数周期性函数周期性:oyx第255页3 3、反函数、反函数4 4、隐函数、隐函数第256页5、反函数与直接函数之间关系第257页6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数第258页7 7、复合函数、复合函数8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用限次函数复合步骤所组成并可用一个式子表示一个式子表示函函数数,称为称为初等函数初等函数.第259页9 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数双曲函数惯用公式双曲函数惯用公式第260页第261页左右极限左右极限两个主要两个主要极限极限求极限惯用方法求极限惯用方法无穷小无穷小性质性质极限存在极限存在充要条件充要条件判定极限判定极限存在准则存在准则无穷小比较无穷小比较极限性质极限性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小二者二者关系关系无穷大无穷大第262页1 1、极限定义、极限定义第263页第264页左极限左极限右极限右极限第265页无穷小无穷小:极限为零变量称为极限为零变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大变量称为绝对值无限增大变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大倒数为无穷小无穷大倒数为无穷小;恒不为零恒不为零无穷小倒数为无穷大无穷小倒数为无穷大.无穷小与无穷大关系无穷小与无穷大关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大第266页定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小代数和仍有限个无穷小代数和仍是无穷小是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小乘积是无穷小有界函数与无穷小乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限变量与无穷小乘积有极限变量与无穷小乘积是无穷小是无穷小.推论推论2 常数与无穷小乘积是无穷小常数与无穷小乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小乘积也是无穷小有限个无穷小乘积也是无穷小.无穷小运算性质无穷小运算性质第267页定理定理推论推论1 1推论推论2 23 3、极限性质、极限性质第268页4 4、求极限惯用方法、求极限惯用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.第269页5 5、判定极限存在准则、判定极限存在准则(夹逼准则夹逼准则)第270页(1)(2)6 6、两个主要极限、两个主要极限第271页定义定义:7 7、无穷小比较、无穷小比较第272页定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8、等价无穷小性质、等价无穷小性质9、极限唯一性、极限唯一性第273页左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数 性性 质质初等函数初等函数连续性连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续连续充要条件充要条件连续函数连续函数运算性质运算性质非初等函数非初等函数连续性连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类第274页1 1、连续定义、连续定义第275页定理定理3 3、连续充要条件、连续充要条件2 2、单侧连续、单侧连续第276页4 4、间断点定义、间断点定义第277页(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5 5、间断点分类、间断点分类第278页跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0yx第279页0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx第二类间断点第二类间断点第280页6 6、闭区间连续性、闭区间连续性7 7、连续性运算性质、连续性运算性质定理定理第281页定理定理1 1 严格单调连续函数必有严格单调连续反严格单调连续函数必有严格单调连续反函数函数.定理定理2 28 8、初等函数连续性、初等函数连续性定理定理3 3第282页定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续基本初等函数在定义域内是连续.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续内都是连续.定义区间是指包含在定义域内区间定义区间是指包含在定义域内区间.9 9、闭区间上连续函数性质、闭区间上连续函数性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值.第283页定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续函函数数一一定定在在该区间上有界该区间上有界.第284页推论推论 在闭区间上连续函数必取得介于最大值在闭区间上连续函数必取得介于最大值M与与最小值最小值m之间任何值之间任何值.第285页二、经典例题二、经典例题例例1 1解解第286页例例2 2解解利用函数表示法无关特征利用函数表示法无关特征代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得第287页解联立方程组解联立方程组第288页例例3 3解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则第289页例例4 4解解 解法讨论解法讨论第290页第291页例例5 5解解第292页例例6 6解解第293页第294页例例7 7证实证实讨论讨论:第295页由零点定理知由零点定理知,综上综上,第296页测测 验验 题题第297页第298页第299页第300页第301页第302页第303页测验题答案测验题答案第304页第305页