条件分布律条件分布函数条件概率密度市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

条件分布律条件分布律 条件分布函数条件分布函数 条件概率密度条件概率密度第三章 随机变量及其分布3 条件分布条件分布退 出前一页后一页目 录第1页一一、离散型随机变量条件分布律离散型随机变量条件分布律 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 (X,Y)关于关于 X 和关于和关于 Y 边缘分布律分别为：边缘分布律分别为：第三章 随机变量及其分布3条件分布P X=xi,Y=yj=pi j,i,j=1,2,.退 出前一页后一页目 录第2页 由条件概率公式由条件概率公式定义：定义：设设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定是二维离散型随机变量，对于固定 j,为在为在Y=yj 条件下随机变量条件下随机变量 X 条件分布律条件分布律。第三章 随机变量及其分布若若PY=yj 0,则称则称自然地引出以下定义：自然地引出以下定义：3条件分布退 出前一页后一页目 录第3页第三章 随机变量及其分布条件分布律含有分布律以下条件分布律含有分布律以下特征特征：10 P X=xi|Y=yj 0；一样对于固定一样对于固定 i,若若PX=xi0,则称则称为在为在 X=xi 条件下随机变量条件下随机变量Y 条件分布律条件分布律。3条件分布即条件分布率是分布率。即条件分布率是分布率。退 出前一页后一页目 录第4页第三章 随机变量及其分布例例1 一射手进行射击，击中目标概率为一射手进行射击，击中目标概率为 p，射击，射击到击中目标两次为止。设以到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击表示首次击 中目标中目标所进行射击次数，以所进行射击次数，以 Y 表示总共进行表示总共进行 射击次射击次数，试求数，试求 X 和和 Y 联合分布律以及条件分布律。联合分布律以及条件分布律。解：解：3条件分布退 出前一页后一页目 录，取值是取值是L21X；，取值是取值是L432Y联合分布律为联合分布律为YX,nYmXP=，pqpqmnm =-11()pq-=1其中其中22pqn=-.1,2,1-=nmL;,3,2L=n而且而且YX 第5页第三章 随机变量及其分布3条件分布例例1（续）（续）退 出前一页后一页目 录 =nnYmXP，边缘分布律为边缘分布律为X =mXP-=22nqp边缘分布律为边缘分布律为Y 1,2,1;,3,2,22-=-nmnpqnYmXPnLL，第6页在在Y=n 条件下随机变量条件下随机变量 X 条件分布律为条件分布律为当当 n=2,3,时，时，第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录 1,2,1;,3,2,22-=-nmnpqnYmXPnLL，第7页在在 X=m 条件下随机变量条件下随机变量Y 条件分布律为条件分布律为当当m=1,2,3,时，时，第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录 1,2,1;,3,2,22-=-nmnpqnYmXPnLL，L,2,1,1=-mpqmXPm第8页第三章 随机变量及其分布例例2（1）在发车时有）在发车时有n个乘客条件下，中途有个乘客条件下，中途有m个人下个人下车概率；车概率；（2）二维随机变量（）二维随机变量（X,Y)概率分布。概率分布。解：解：且中途下车是否相互独立。以且中途下车是否相互独立。以 Y 表示在中途下车人表示在中途下车人数，求：数，求：设某班车起点站上车人数设某班车起点站上车人数 X 服从参数为服从参数为泊松分布，每位乘客在中途下车概率为泊松分布，每位乘客在中途下车概率为3条件分布退 出前一页后一页目 录第9页第三章 随机变量及其分布二、二、条件分布函数条件分布函数设设(X,Y)是二维连续型随机变量，因为是二维连续型随机变量，因为 所以我们利用极限方法来引入条件分布函数概念。所以我们利用极限方法来引入条件分布函数概念。3条件分布退 出前一页后一页目 录第10页定义：定义：给定给定 y，设对于任意固定正数，设对于任意固定正数 ，存在，存在，第三章 随机变量及其分布P y-0,若对于任意实数若对于任意实数 x，极限，极限则称为在条件则称为在条件Y=y下下X条件分布函数条件分布函数，写成写成 P X x|Y=y，或记为，或记为 FX|Y(x|y).3条件分布退 出前一页后一页目 录第11页第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录第12页第三章 随机变量及其分布3条件分布称为在条件称为在条件Y=y下下X条件分布函数条件分布函数.退 出前一页后一页目 录条件下条件下在在称为随机变量称为随机变量yYX=.条件密度函数条件密度函数()()()xfyxfxyfXXY，=条件下条件下在在称为随机变量称为随机变量xXY=.条件密度函数条件密度函数第13页条件密度函数性质条件密度函数性质第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录，有，有对任意对任意性质性质x1()0 yxfYX()12=+-dxyxfYX性质性质()是密度函数是密度函数简言之，简言之，yxfYX()也有类似性质也有类似性质对于条件密度函数对于条件密度函数xyfXY第14页第三章 随机变量及其分布3条件分布例例 3解：解：退 出前一页后一页目 录第15页第三章 随机变量及其分布例例 3（续）（续）3条件分布退 出前一页后一页目 录第16页第三章 随机变量及其分布例例 3（续）（续）退 出前一页后一页目 录第17页例例 4 4第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录()()rNYX，222121s ss sm mm m()联合密度函数为联合密度函数为，则则YX()服从二元正态分布：服从二元正态分布：，设二维随机变量设二维随机变量YX第18页第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录第19页例例 5 5第三章 随机变量及其分布3条件分布退 出前一页后一页目 录()()密度函数密度函数机变量机变量上均匀分布试求随上均匀分布试求随，服从区间服从区间条件下条件下在在时，随机变量时，随机变量布，当布，当上均匀分上均匀分，服从区间服从区间设随机变量设随机变量YxxXYxX11010=()=.,0,10,1其它其它xxfX密度函数为密度函数为随机变量随机变量 X下条件密函数为下条件密函数为在条件在条件时，随机变量时，随机变量又由题设知，当又由题设知，当xXYx=10()-=.,0,1,11其它其它yxxxyfXY第20页第三章 随机变量及其分布3条件分布例例 5 5（续）（续）得得退 出前一页后一页目 录所以，由公式所以，由公式时，时，当当10 y -=.,0,10,11其它其它yxx()()+-=dxyxfyfY，所以，所以，密度函数为密度函数为所以，随机变量所以，随机变量 Y()()-=.,0,10,1ln其它其它yyyfY-=ydxx011().1lny-=第21页第三章 随机变量及其分布3条件分布 1 1 条件分布律；条件分布律；2 2 条件分布函数；条件分布函数；3 3 条件概率密度。条件概率密度。小结：小结：难点：难点：求条件分布时怎样确定条件分布率和条求条件分布时怎样确定条件分布率和条 件密度不为零范围。件密度不为零范围。退 出前一页后一页目 录第22页第三章 随机变量及其分布4 随机变量独立性随机变量独立性随机变量独立性随机变量独立性离散型随机变量独立性离散型随机变量独立性连续型随机变量独立性连续型随机变量独立性正态随机变量独立性正态随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第23页一、随机变量独立性一、随机变量独立性第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第24页说说 明明第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性结论：结论：在独立条件下有在独立条件下有退 出前一页后一页目 录第25页例例 1 1第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录()联合分布函数为联合分布函数为，设二维随机变量设二维随机变量YX()+=10arctan25arctan212yxyxFp pp pp p，()+-+-yx，是否相互独立？是否相互独立？与与试判断试判断YX边缘分布函数为边缘分布函数为X解：解：第26页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录 +=+10arctan25arctan21lim2yxyp pp pp p +=5arctan21xp pp p()=，xF()xFX边缘分布函数为边缘分布函数为Y()()yFyFY，=+=+10arctan25arctan21lim2yxxp pp pp p第27页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录 +=10arctan21yp pp p，有，有，所以，对于任意实数所以，对于任意实数yx()+=10arctan25arctan212yxyxFp pp pp p，+=10arctan215arctan21yxp pp pp pp p是相互独立随机变量是相互独立随机变量与与所以所以YX第28页二、离散型随机变量独立性二、离散型随机变量独立性第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第29页例例 2 2第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第30页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第31页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第32页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第33页例例 3 3第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第34页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第35页三、连续型随机变量独立性三、连续型随机变量独立性第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第36页说 明第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第37页例例 4 4第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第38页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第39页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第40页例例 5 5第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第41页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第42页例例6 6（BuffonBuffon投针问题）投针问题）第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性LMXMa退 出前一页后一页目 录第43页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第44页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性xDA0退 出前一页后一页目 录第45页说 明:第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第46页说 明（续）第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第47页说 明（续）第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录第48页例例 7 7（正态随机变量独立性）（正态随机变量独立性）第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录()联合密度函数为联合密度函数为，则则YX()()rNYX，设二维随机变量设二维随机变量222121s ss sm mm m边缘密度函数为边缘密度函数为又随机变量又随机变量 X第49页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录边缘密度函数为边缘密度函数为随机变量随机变量 Y，有，有，实数实数相互独立，则对任意相互独立，则对任意与与反之，假如随机变量反之，假如随机变量yxYX()联合密度函数为联合密度函数为，时，时，所以，当所以，当YXr0=第50页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性退 出前一页后一页目 录().0,),(222121=rYXrNYX：件为件为相互独立充分必要条相互独立充分必要条与与，对于对于结论：结论：s ss sm mm m由此得，由此得，0=r尤其地，我们有尤其地，我们有第51页四、四、n n 维随机变量独立性维随机变量独立性第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性注意：若若 X,Y 独立，独立，f(x),g(y)是连续函数，是连续函数，则则 f(X),g(Y)也独立。也独立。退 出前一页后一页目 录第52页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性小结：小结：1 二维随机变量二维随机变量独立独立充分必要充分必要条件条件：联合分布等于边缘分布乘积联合分布等于边缘分布乘积。2退 出前一页后一页目 录().0,),(222121=rYXrNYX：件为件为相互独立充分必要条相互独立充分必要条与与，对于对于s ss sm mm m第53页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性思索题思索题：1）填空。已知）填空。已知 X,Y 独立，联合分布率与边缘分布独立，联合分布率与边缘分布率以下率以下退 出前一页后一页目 录第54页第三章 随机变量及其分布4随机变量独立性2）已知）已知 X,Y 分布率以下分布率以下求：（求：（1）X,Y 联合分布率；（联合分布率；（2）X 与与 Y 是否独立。是否独立。退 出前一页后一页目 录第55页第三章 随机变量及其分布3)退 出前一页后一页目 录第56页第57页