1、 1.3.1 1.3.1 不定积分不定积分 1.3.5 1.3.5 平面曲线积分平面曲线积分 1.3.4 1.3.4 重积分重积分1.3 积分学 1.3.2 1.3.2 定积分定积分 1.3.3 1.3.3 广义积分广义积分 1.3.6 1.3.6 积分应用积分应用第1页1.3.1 不定积分不定积分1.直接积分法经过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分方法(要求记住基本积分公式P16）.2.换元积分法第2页第一类换元基本思绪第一类换元关键是凑微分，惯用凑微分结果有第3页第4页第5页例例2.2.求求求求解解:原式第6页第二类换元解题思绪为使用该公式关键为第二类换元常见类型有 三角代换
2、倒代换 根式代换等第7页3.3.分部积分法分部积分法使用标准:1)由易求出 v;2)比好求.普通经验:按“反,对,幂,指,三”次序,排前者取为 u,排后者取为第8页例例3 3 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）第9页解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得第10页2、定积分性质性质性质1性质性质2性质性质31、定积分定义：1.3.2 定积分定积分第11页性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4第12页性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式第13页3、积分上限函数导数第14页第15页也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公
3、式4、牛顿莱布尼茨公式第16页5、定积分计算法换元公式换元公式（2）第二类换元法）第二类换元法（3）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式注：应尽可能先用简便算法：1、几何意义；2、对称性；3、奇偶性；4、主要结论（1）凑微分法）凑微分法第17页6、主要结论为正偶数为正偶数为大于为大于1正奇数正奇数第18页第19页第20页1.3.3 广义积分广义积分(1)无穷限广义积分无穷限广义积分第21页(2)无界函数广义积分无界函数广义积分第22页1.1.在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则1.3.4 重积分（化为累次积分）第23页解解第24
4、页2.在极坐标系下计算二重积分第25页例例9.计算二重积分计算二重积分其中D 为圆周所围成闭区域.提醒提醒:利用极坐标原式第26页例例10.10.交换以下积分次序交换以下积分次序交换以下积分次序交换以下积分次序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则第27页1.3.5 平面曲线积分平面曲线积分计算定积分转 化且上连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分说明说明:(1)积分限必须满足(2)注意到 1.1.对弧长曲线积分计算对弧长曲线积分计算对弧长曲线积分计算对弧长曲线积分计算第28页假如曲线假如曲线假如曲线假如曲线 L L 方程为方程为方程为方程为则有假如方程为极坐标形式:则第29页例例11.1
5、1.计算计算计算计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间一段弧.解解:上点 O(0,0)第30页2.2.对坐标曲线积分计算法对坐标曲线积分计算法在有向光滑弧 L 上有定义且L 参数方程为则曲线积分连续,存在,且有第31页例例例例12.12.计算计算计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L参数方程为(2)取 L 方程为则则第32页区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 正向正向:域内部靠左域内部靠左设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则
6、有格林公式格林公式函数在 D 上含有连续一阶偏导数,3.格林公式第33页例例13.13.计算计算计算计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则第34页1.1.平面图形面积平面图形面积设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A,右下列图所表示图形面积为 1.3.6 积分应用积分应用第35页例例例例14.14.计算两条抛物线计算两条抛物线计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围所围图形面积.解解:由得交点第36页例例例例15.15.求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆解解:利用对称性,所围图形面积.有利用椭圆参数方程应用定积分
7、换元法得当 a=b 时得圆面积公式第37页(1)(1)曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长2.平面曲线弧长第38页(2)(2)曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:所求弧长第39页连续曲线段连续曲线段轴旋转一周围成立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成立体体积时,有3.旋转体体积第40页4.4.空间立体体积空间立体体积空间立体体积空间立体体积 曲顶柱体曲顶柱体顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 立体体积为第41页5.曲面面积曲面面积即若光滑曲面方程为第42页
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