初三数学圆的性质定理资料讲解.docx

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初三数学 圆的性质定理
1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
4、垂径定理的应用：
　　①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；
　　②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.
例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.
　　(1)求证：AB=CD
(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.
1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.
②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
4．圆的内接四边形：
　①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
　②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.

解：

1、 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（　）

2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（　）
A．7cm　　　　　 B．17cm　　　　　　 C．12cm　　　　 D．7cm或17cm
3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（　）
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．平分 D．随点C的移动而移动

4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（　）
A．∠ABD=∠ACD　 B． C．∠BAE=∠BDC　 D．∠ABD=∠BDC
5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（　）
A．80°　　　 B．50° C．40°　　　 D．20°
6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．

7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．
8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A、B不重合），则∠OAB=____∠OPB=__________．
9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．
10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．

11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．

解：过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N．
则四边形OMEN是矩形，∴ON=EM
连接OB，
∵MB=AM

∵BE=13cm
∴ME=BE－BM=4cm
∴ON=4cm
∵在Rt△OMB中，，
　　，
故⊙O的半径为11cm，O到CD的距离为4cm．
12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．
　　（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
　　（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．

一、确定圆的条件
　　(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．

　　(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
　　(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
　　因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
　　过不在同一条直线上的三点确定一个圆
2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
　　因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．
3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法
作法
图示
1．连结AB、BC

2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O

3．以O为圆心，OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆

例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
（1） 　　　　　　　（2）　　　　　　　　　（3）

例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．
1、下列关于外心的说法正确的是（　）
A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点
C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点
2、下列条件中不能确定一个圆的是（　）
A．圆心和半径　　　B．直径 C．三角形的三个顶点　　D．平面上的三个已知点
3、三角形的外心具有的性质是（　）
A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外　D．外心在三角形内
4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（　）
A．重心　　　B．垂心 C．外心　　D．无法确定
5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　）

A．点P　　　B．点Q C．点R　　　　　D．点M
6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.

7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．
8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？

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