北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题上课讲义.doc

实数知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。3、当a0时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若的平方根是2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，有意义。（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A1的立方根是； B； （C）、的平方根是； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算术平方根是 。（4）若有意义，则_。（5）已知ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。（7）如果x、y分别是4的整数部分和小数部分。求x y的值.（8）求下列各数的平方根和算术平方根.64； ； 0.0004； (25)2； 11. 1.44， 0，8， ， 441， 196， 104（9）()2等于多少？()2等于多少？（10） ()2等于多少？（11）对于正数a，()2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1) =_，=_；(2) (2)=_，=_；(3) =_，=_；(4) (4)_，=_.知识点四、【立方根】： 1、如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3.（1）64的立方根是（2）若，则b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正确的有 （ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个知识点五、【无理数】： 1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4.（1）下列各数：3.141、0.33333、0.3030003000003（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有 ( )个A 2 B 3 C 4 D 5 知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5.（1）下列说法正确的是（ ）；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1和2之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是和-1，则点C所对应的实数是（ ）A. 1+ B. 2+ C. 2-1 D. 2+1（4）实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）A B. C . D.（5）比较大小(填“”或“”).3 ， ， ， ，（6）将下列各数：，用“”连接起来；_。（7）若，且，则：= 。（8）计算： （9）已知：，求代数式的值。基础练习一一、选择题1.下列数中是无理数的是（ ） A.0.12 B. C.0 D.2.下列说法中正确的是（ ）A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数3.下列语句正确的是（ ）A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数4.在直角ABC中，C=90，AC=，BC=2，则AB为（ ）A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） A.小数B.分数C.无理数 D.不能确定 6.的化简结果是（ ） A.2 B.2 C.2或2 D.4 7.9的算术平方根是（ ） A.3 B.3 C. D. 8.(11)2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.没有平方根9.下列式子中，正确的是（ ）A.B.=0.6 C.=13D.=610.72的算术平方根是（ ） A. B.7 C. D.411.16的平方根是（ ） A.4 B.24 C. D.212.一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（ ）A.a+2 B.2 C.+2 D.a2+213.下列说法正确的是（ ）A.2是4的平方根 B.2是(2)2的算术平方根 C.(2)2的平方根是2 D.8的平方根是414.的平方根是（ ） A.4 B.4 C.4 D.215.的值是（ ） A.7 B.1 C.1 D.716.下列各数中没有平方根的数是（ ）A.(2)3 B.33 C.a0 D.（a2+1）17.等于（ ） A.a B.a C.a D.以上答案都不对18.如果a(a0)的平方根是m，那么（ ）A.a2=m B.a=m2 C.=m D.=m19.若正方形的边长是a,面积为S，那么（ ）A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.a= D.S= 二、填空题1.在0.351， ，4.969696, 6.751755175551, 0,5.2333, 5.411010010001中，无理数的个数有_.2._小数或_小数是有理数，_小数是无理数.3.x2=8,则x_分数，_整数，_有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为3的正方形的边长_有理数；面积为4的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”) 5.的平方根是_； 6.()2的算术平方根是_； 7.一个正数的平方根是2a1与a+2，则a=_，这个正数是_； 8.的算术平方根是_； 9.92的算术平方根是_； 10.的值等于_，的平方根为_； 11.(4)2的平方根是_，算术平方根是_.三.判断题 1.0.01是0.1的平方根.( ) 2.52的平方根为5.（ ） 3.0和负数没有平方根.（ ） 4.因为的平方根是,所以=.（ ） 5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ）四、解答题 1.已知：在数，,3.1416,0,42,(1)2n,1.424224222中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数； 2.要切一块面积为36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少？ 3.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a15,求这个数. 分母有理化1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。例题：找出下列各式的有理化因式 3分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母有理化 例题：把下列各式分母有理化：（1） （3） （4） 【练习】1找出下列各式的有理化因式 2把下列各式分母有理化 3计算 4比较大小与 5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ；6.计算： (1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) ；1. 计算(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 专题讲解：类型一有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含的数，如：等，开方开不尽的数，如等；特定结构的数，例0.010 010 001等；某些三角函数，如sin60，cos45 等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。例1下面几个数：0.23 ，1.010010001，3，其中，无理数的个数有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4例2.（2010年浙江省东阳县） 是 A无理数 B有理数 C整数 D负数 举一反三：1.在实数中，0，3.14，中无理数有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a0，则a的平方根是，a的算术平方根；若a0，则ab=1；（）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213，1234，,0，, , ()0，32，1.2121121112中 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知1x2，则|x3|+等于（）（A）2x（B）2（C）2x（D）24下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3, 1， 3， 03， 31， 1 +， 3互为相反数： ；互为倒数： 互为负倒数： *5已知、是实数，且（X）2和2互为相反数，求，y的值6.若,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，则+4m-3cd= 。*7已知0，则= 。三、解题指导：1下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数 （B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数 （D）不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数4.如果a是实数，下列四种说法：（1）2和都是正数； （2），那么一定是负数，（3）的倒数是； （4）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）（A）0（B）1（C）2（D）3*5比较下列各组数的大小：（1） (2) (3)ab0时, 6若a,b满足=0,则的值是 *7实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|(5) 判定a+b,a+c,c-b的符号(6) 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点A表示数1，若AB3，则点B所表示的数为 9已知x0，且y|x|，用连结x，x，|y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11（2011广东茂名，9，3分）对于实数、，给出以下三个判断： 若，则 若，则 若，则 其中正确的判断的个数是（ ）A3 B2 C1 D012若的值在两个整数a与a+1之间，则a= *13.数轴上作出表示，的点。四独立训练：10的相反数是，3的相反数是， 的相反数是；的绝对值是，0的绝对值是，的倒数是2数轴上表示32的点它离开原点的距离是。A表示的数是，且AB，则点B表示的数是。3,(1),01313,2cos60, 31 ,1101001000 (两1之间依次多一个0),中无理数有 ，整数有 ，负数有 。4. 若a的相反数是27，则a| ；5若|a|，则a= 5若实数x，y满足等式（x3）24y0，则xy的值是 6实数可分为（）（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数*7若2a与1a互为相反数，则a等于（）（A）1 （B）1 （C） （D）8当a为实数时，=a在数轴上对应的点在（）(A)原点右侧（B）原点左侧（C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧*9代数式的所有可能的值有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个10已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图（1）比较ab与a+b的大小（2）化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中试化简：2*12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）2920 。求它的周长。13若3，5为三角形三边，化简：20