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微元法高考物理专题复习建议

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“微元法”高考物理专题复习建议
刘小兵
南京市金陵中学河西分校（江苏 南京210019）

【摘要】在研究物理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法，称为“微元法”。这是物理研究中非常重要的方法，在高考中屡屡出现，从应用来看，可以分为选取微元作为研究对象、微元求导和微元求和等三个方面。本文归纳总结了“微元法”解题步骤，力图通过最简单的例子和规范的解题过程引领示范，并且运用各种图象让物理情景形象生动地呈现，易于学生理解和提升。
【关键词】微元法 变力 变加速度 化变为恒 化曲为直

在处理和研究物理问题时，将研究对象或物理过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直），从其中抽取某一微小单元（研究对象或研究过程）进行研究，从而找到被研究对象或被研究过程遵循的物理规律，这种方法称为“微元法”。从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。 这是一种深刻的思维方法，化变为恒，化曲为直，通过分割逼近，获得“微元”，从而可以运用中学阶段的解题手段，再累加求和（或求商求导），最终达到了求解整体的目的。
人教版课本中多处涉及到了“微元思想”，由于散落在各册教材中，学生印象比较模糊，因此在总复习专题复习时以“微型例题”形式总结。如推导v-t图的面积表示位移、研究重力做功、推导向心加速度，等等，都用到了“微元法”。
【微型例题1】试用“微元法”推导说明v-t的面积表示位移。
图1
解析：Step1 在匀速直线运动的v-t图象中，如图1， 图象与时间轴所围的面积表示位移x=vt.
可以把整个匀变速直线运动的运动过程分成几个比较小的时间段，把每一小段时间内的匀变速运动粗略地看成是匀速直线运动(化变为恒)。然后把运动物体在每一个时间间隔内的位移（即小矩形的面积）都表示出来，最后求和，就得到了匀变速直线运动的总位移。
Step2 从图2看出，矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移。
Step3 选取的时间段Δt越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，如图3。
当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象的面积。
Step4 如果把整个运动过程划分得非常非常细（微元法），很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于如图4所示的梯形的面积.
图2
图4
图3

图5
【微型例题2】已知物体以O为圆心，R为半径，做角速度为的匀速圆周运动，求物体的向心加速度的大小．
解析：如图5所示，物体的运动速度由变到，速度变化为　.（矢量差）
在θ很小时，有的方向指向圆心，并且有，(在矢量三角形中，和大小相等，弦长视为弧长，扇形的弧长)（微元法）
又有，
图6
故．
【微型例题3】将一个质量为的物体，通过图中曲线路径由A点到C点（A、C两点离地高度分别为、）．试求重力对物体所做的功是多少？
解析：如图6所示，把路径分成许多小段，每一段可以看作一个小斜面（设斜面长为，倾角为，重力做功），各个斜面的高度为、、…从A 到C 重力对物体所做的功等于物体在通过各个小斜面时重力做功的和，即…
亦即．
可见，课本中的“微元法”“随风潜入夜，润物细无声”，并且不特别指明方法——“微元法”。我们在总复习时应该加以提炼和归纳，便于学生备考。本文分为三种题型：题型一、以“微元”为研究对象；题型二、微元求导；题型三、微元求和。
题型一、以“微元”为研究对象
1选取质量元△m
图7
一旦我们遇到“质量元”的时候规律都是相同的，我们可以将其分解为无数个微小的“质量元”，我们选取其中之一作为研究对象，写出表达式就能使得问题迎刃而解。
【例1】加速启动的火车车厢内的一桶水,若已知水面与水平面之间的夹角为，则火车加速行驶的加速度为多大？

FN

mgsin

图9
解析：我们需要从水面上提取所需的“水元”，其质量为△m，其受力情况如图所示，合力F合=△mg, 根据牛顿第二定律可知,则a=g ,方向与启动方向相同。
图8
【例2】证明，如图8，建筑工地上的黄砂，无论怎样堆，其锥角保持不变。假如圆锥的底周长为，高为，求黄砂之间的动摩擦因数。（假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）
解析：如图9所示，圆锥形黄砂堆倾角为，取砂粒子质量元△m 进行受力分析,△m沿堆面不向下滑动，则处于平衡状态且达到最大静摩擦力，所以
△mgsin = △mgcos ，即=tan 。所以.
2、选取时间元
图10
【例3】高压采煤水枪出口的横截面积为S，水的射速为v，水射到煤层上后速度变为零，若水的密度为ρ，试求水对煤的冲击力．
解析：如图10所示，取很小的一小段时间内冲到墙上的一小段水柱为研究对象，设其质量为，则。
根据牛顿第二定律，，解得。
3、选取电量元
图11
【例4】 如图11所示，一个均匀的带电圆环，带电量为Q，半径为R，圆心为O 点． 通过O 点作垂直于圆环面的直线，在此线上取一点P，P到O的距离为R，则带电圆环在P点处产生的电场强度多大?方向怎样?
解析：只能适用于点电荷产生的电场，无法直接求解。故在圆环直径的两端对称地取两段微元研究，设其电量均为Δq，它们在P 点处的场强的合场强；
求和：；
由于，
故.其方向沿OP 连线向外。

4、选取圆弧元
图12
【例5】如图12所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？
　　解析：由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作用点的轨迹分成无限多小段…，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做功过程。
　　运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功，…．则转动一周过程中推力做的功….
题型二、微元求导
物理学中表示变化快慢的物理量瞬时值的定义式都是根据“微元求导（求商）”来定义的。如，…都是运用了当时，微元求商（即求导）的极限思想。
图13
【例6】（2012年江苏高考）一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比．下列描绘将皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是（ ）
解析：，根据，对上升过程有，即，随着时间推移，v减小，a减小，如何减小呢？对求导，，可见图的切线斜率的绝对值减小，本题答案选C。

【例7】 P 、Q 是某电场中一条电场线上的两点, 一点电荷仅在电场力作用下, 沿电场线从P 点运动到Q 点, 经过此两点时速度大小分别为和 , 其速度v 随位移x 变化的图象如图14所示, 请比较P 、Q 两点电场强度的大小.
图14
解析：在图上作P、Q两点的曲线切线，其斜率的绝对值分别为、，显然有，即.由于，两点的加速度分别为，，图中，所以.电荷只受电场力，故.
题型三、微元求和
对于变力作用的物理过程，有时用能量无法求解。此时可以考虑用“微元法求和”。其基本思路是：Step1 确定研究对象，写出瞬时表达式；Step2 取一小段时间（时间极短，加速度、速度都来不及变）；Step3 换元，使之具有“平权性”，才能正确合理求和；Step4 对各小段求和；Step5 写出解答，得到结果。
【例8】一质量为m 的雨滴，从距地面h 高处由静止开始下落，假设雨滴在运动中受到的空气阻力跟速度的一次方成正比，即有f = kv( k为已知常数) ，已知雨滴落地前已开始做匀速运动，当地的重力加速度为g． 试问：
（1） 雨滴的运动时间；
（2） 定性画出图、图。
解析：（1）（Step1 写瞬时式）
，根据有，即，从而 ；
（Step2 取微元）取一小段时间，；
（Step3 换元）由于很小，，，所以；
（Step4 求和）
亦即

（Step5 写结果）又有
解得.
（2）下落中，v先增大后匀速，由可知，先减小后为0，v-t图如图15。
t
a
0
图16
t
v
0
图15
又对求导，得到，图的斜率绝对值减小，画出图如图16。

图17
【例9】如图所示，一水平放置的光滑平行金属导轨上放有一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨左端连有一阻值为Ｒ 的电阻，杆与导轨的电阻均忽略不计，整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中． 现给金属杆一个向右的初速度v0，然后任其向右运动，导轨足够长，试求:
( 1) 证明金属杆的瞬时速度与其在导轨上的滑行位移成线性关系；
( 2) 金属杆在导轨上向右运动的最大位移．
(3)定性画出图、图。
解析：（1）（Step1 写瞬时式）据有，亦即
则；
（Step2 取微元）取一小段时间，故
（Step3 换元）；
（Step4 求和），
亦即（为了书写方便，可以等效写成，等效为逆向加速运动）；
（Step5 写结果）解得.
（2）时位移最大。.
v
a
0
图19
x
v
0
V0
图18
（3）本题中的图、图与【例8】中的第（2）问的答案一致。由，形如直线方程，图如图18。由画出图如图19。

图19

【例10】 如图20所示，一有界匀强磁场区域的宽度为L，方向竖直向下．在光滑的水平桌面上，现有一边长为 ( ＜ L) 的正方形闭合金属线框以垂直磁场边界的初速度v0 滑入磁场，已知线框全部进入磁场中时的速度为v1，穿出磁场后的速度为v2.
(1)试证明 ．
(2)定性画出图、图、图。
解析：（1）（Step1 写瞬时式）
据有，亦即，所以 ；
（Step2 取微元）取一小段时间，；
（Step3 换元）；
（Step4 求和）；亦即；
（Step5 写结果）
进场：；出场：，两式右边相同，故左边亦相等。
解得.
（2）图、图、图如图21至图23所示。
x
v
0
图22
t
v
0

图21

t
a
0
图23

运用微元法，能够深入研究物体的运动性质，甚至探究未知的运动。
图24
【例11】（2013年全国高考卷I）如图24，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为Ｌ．导轨上端接有一平行板电容器，电容为Ｃ．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为Ｂ，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为ｍ 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为ｇ．忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
（１）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
（２）金属棒的速度大小随时间变化的关系．
解析：（1），，所以.
（2）（Step1 写瞬时式）根据，
所以；
(Step2 取微元)取一小段时间，
；
(Step3 换元)；
(Step4 求和)；
即，再将代入，
(Step5 写结果)
得到.
上式形如，说明导体棒做匀加速直线运动，加速度。
在微元求和中，常常用到、、、，等等，值得注意。
参考文献：
[1]陈锋.窥一斑而见全豹—-微元法在中学物理中的应用[J].物理教学探讨,2012,30(3):46-48.
[2]黄皓燕.微元思想在物理学习中的应用[J].物理教师,2009,30(5):51-53.
[3]王化银.推进微元方法在物理教学中的应用[J].物理通报,2013(3):9-12.

作者简介：刘小兵，男，中学高级教师，就职于江苏省南京市金陵中学河西分校。
通讯地址：江苏省南京市梦都大街60号金陵中学河西分校
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