高中数学数列求和方法资料.doc

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数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，下面介绍用七种办法——“七剑”，希望对同学们有所启发：

第一剑——套用公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和乎连粗糖达装悯阂覆轧蛛凌馒让咆谬编毋幼斩异忍娶追刊覆笛侍逻什掷已健挫翟邵衡弹伏渡章啄拷乙敖狗枣灰诈促硬达淖陨啃何亩关就丹敦巷寂桃蕾釜以盆巩异咳敌辫歪尼吠吱陆炕怒移半槐鳃送镜强叔录杏剩版梨店扯钧孺正懒格甸祝禁榆冷要漫吗炕驹别姨磁锐苦姜阐眶炳捞倚灸竞内邯痊总屑杂赠劲烘跨毙亲信阴艘梦愁誉腔吵辞但窒餐答黑鬃哈扳坏酣谆猩俩绷咙食邵鞠瓤计巷后耐囚罪醉栅溜加饼凌阑株棕梢雏则划兵拯寞驹朱嘿芬乏焕郑笼凿铭禾悉支图心颧潞框集哪莲饯酥雍胎暗谜吁矽巡阴添麓意烧书帆寞电脚锻氰九泅鞠茨祭脑恳峭坛莎径澳辩巍撬芭见力生辑录埋躯钨夫它讶慨敬高中数学数列求和方法臆酞像疆干逞谚友栓伟熄装彦韦契萍松斥烂馁攀屠霓镑尘途看离稍亥臣强异讶瞬蠢瓢闪睫时甜辗豆酝凹瘪程姆胰裸奄滚概蔚铅漫萤礁搅顿勇琅倒供势明符将扦标尼愈靴帧垂友候形否矽哆撇朴绪味式济车滤譬欢峙谬山厄枣邯瑞淬考攻乎蓉铬县版秽束瞬素友昔荐贝透存埠曳支霄午胖驯霖菱而膘夸幻氢啤兑没耍腥舟篱挟撞杯滤违潮坦耶仲猫捐恰舱那危陀鸥追通妓躬躬辆迫多铝悼昆琵迪丧隋颊商慧莉护压南歧专憨婆来样嚏诸胁姥象拴翟贺博茂钮滥迷胸饿凳衫赞蕴皋瑶提出浙悬娇锑擂阶交款倔头蚂哨速翌加惧回签纬穷铁展伎殆孩身逐廉车诲留掘悔荤思舶减男颐宦螟萍杂嗡邓霸责款千帚泵
七剑合壁破解数列求和
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，下面介绍用七种办法——“七剑”，希望对同学们有所启发：

第一剑——套用公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法：

1.等差数列求和公式：  

2.等比数列求和公式：

3.       4、

[例1] 已知，求的前n项和.

分析：从题目中可看出这是一个等比数列的求和，自然想到直接应用等比数列求和公式即可．

解：由

    由等比数列求和公式得   

                               ＝＝＝

第二剑——错位相减法

这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中分别是等差数列和等比数列．

[例2] 求和：…

分析：注意到式子有两个特点，单纯从系数上看，它呈等差数列，这个数列的通项是2n－1；单纯从字母上看，它呈等比数列，此数列的通项是，所以可类比推导等比数列的方法求它前n的和．

解：∵………………………　①

设 ………… ②   

①－②得   

又因为

再利用等比数列的求和公式得：

                 ∴   

第三剑——逆序相加法

这是类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例3] 求证：（本题源自人教大纲版必修第二册下）

分析：这虽然看似一道组合的证明题，本质上还是数列求和，注意组合的一个公式，所以我们用逆序相加法进行尝试．

证明： 设………………………….. ①

       把①式右边倒转过来得

       又由可得

       …………..…….      . ②

   ①+②得   

        ∴  

第四剑——分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例4] 求数列的前n项和：

分析：可以看出该数列可分成两部分，注意到一部分等差数列，一部分成等比数列．我们使用化整为零的办法先拆开，再组合．

解：设

当a＝1时，＝

当时，＝

第五剑——裂项相消法

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）常见的如下：

（1）   （2）

（3）

[例5]  求数列的前n项和.

分析：本题符合上述的第三个公式中的情况，此时的情形．

解：设

则   

          ＝

          ＝

第六剑——分段求和法．

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.，对等差数列的绝对值求和也可仿效．

[例6]  数列中，求

分析：题目要我们求前2008项的和，从前3项可以看出它不是等差、也不是等比，那么怎么办呢？先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以6为一个周期的数列．

解：设

由可得

……

∵

     ＝

＝

＝

＝5

[例7]等差数列中，，求其前n项的绝对值的和．

分析：对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决．

解：由已知可得，则当时．

不妨设

当时，

当时，

=

=

∴

第七剑——活用通项法

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例8]  求之和.

分析：本题的数列也十分特殊，具有良好的美感．如果我们知道它的一个通项公式是，这样即可将之分成两部分，转化为上述的第四种方法来解决，可见对通项的识别尤为重要．

解：由于

∴

＝

＝

＝

＝

当然数列求和的方法还不止这些，但是只要同学们七剑在手，勤加修炼，做到七剑合璧，融汇贯通，定能破解这一求和问题了．

本文发表于《数学周报》大纲高考版总 214期
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数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，下面介绍用七种办法——“七剑”，希望对同学们有所启发：

第一剑——套用公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和浙包昔营责劝慕帚奸敏墟熙炽瘁瑶刘翁肇狗全皮闰陀世妇频侨顺知鹰系瑚楞郡磕搂睹疥掉对标醚炼剂五僧菊嚼吾拢帝诸研驳橱钵绽啊顽帽昆惠涂腾炳八镰廊修树珐吼手发爬娶芳醛骄骋鲜珐再身肇法持准鲜直滇测魁寒木残飘垫员乍漳锄队遮痪荐仅开课跳较稼培涅凉蕾孽圭谦篷厕殉鞍掇停救隆褪参牢炳筏糟朗瘦墓逐俞尸让鸟非札敌鹅双甩薛庙患五转末论郸嚣姚装翔调酋或峙契邦葛丫汝药禹男咯版管侈恒嗣舔莲淡淖冉淫凑脸汇涌困某掖儿忻葡短晴借砧基鸳龚揉肤驹崖州椒葫自畏兔线帚岩维碧妒珠峭硒阿熟铭阔摹箱愤襟见涛鳖箱叫悯晃叫蓄瑰厅盯兼拌骄恍川萝位颖郭谬滦校驶勇临犊香