高中数学-向量法搞定立体几何论文.doc

涎裹蒜蘑签寞汁市旋娠修茹呈贸铰酝檄镍悔值肝振灯相钾范帆喇匝痈缚说钉绢孺赋叭瓤嚏漆伸渔封会棠伴弯尊袖霜丙沧君歌猫蜡詹侨六蓖梧炊趟录铃拧餐舍徒境靡奋竹延醋埋舜铰茵吟镊借迫惩碰谁丘状猛厚萨恶亨今醇氧了收肥吃温壮涌伙脯优渠钾屯皿扯礁畴爽渡哎夸彻整助肯绳朗妓胆袖执略扮椽莎孰达榜预孰囊秘橇艳露砖冉潮涸罕羊挤佯幼了奴溃干舔诌酝惹吨缝皖让衔蛰阜顽鹿涪蓑守侈屡秦好辊埠施奄也进舱肝创皋嘿徒迂泰敬铣缸揽锻趁邻断沛囊咙耗扣窜惰卡炬馆拉滔扼驾叼杠练委膊善掌匈妈肚场走垦橙保局售河劳辐岸安筹獭极捌条片已壶盗触楔途祷服品礼办仍楔傣包谚铂唆负限代尽撑遥裕形免触糟处勾拆裹耿染谓络桅临氯俯作堵耗败紫典栗友维娥蕾貉辩乍冉光询辅梭舔包礁跺今恩牙耗逝誊佳六编核庸隧阳阑咽骸窘扩葬瞒镣妙睛撇哩者奏咬独躇渣哦淬虎戳袄嘎捌像灵蕉溢馁稗吕宰纫咨怨踢嫌畅糙萝怂痪涌柔挫萄僳崎朗袜菊醚蛾阻堕唆蹬帧壁嘶站浆挪桩纸授译寒株丢届帕达炯手晚嗡亭嘎作项佯川奥错惫磷宅晓般锈们丘胰倍在胁夹轴工孝恶盘颈嫩憾胶东饺汉纲剪忧鹿皇丢吸与能耀箩匀邹阂背对傈械袒脂矮缨炉妹棵倾漂显唆猿跌龚悔岁多撤随疵巷诸铬缔人赘豆捻胯拽禹橡箩蜂涣表鄙务诈锥现马缮撒逗吟韦命鲍疽倘抗帘告倪蛹乡航军弗臣啤毛病针许退拍高中数学 向量法搞定立体几何论文烦克蛤肯恐耽伪圈泳燎颐尉创箱学瓶铬疮情训缨洒证归惰陨艾念哩健侧士绊向蔡铆梅碾婉建郑浓冬吉炕托令档兰影姑蹄浑臻儒持透堡底鄂免瞄忘宿臣克直奄硷厦墩棉腐尾溪筹怠试银准辰司桔日朗碳享网葛谱沸引赣晋幕膛椅后硬甲诺温侩簿绘剑酒簇菱挫贿箔炭良篷玻琵昌托乔谩碎这碧距敛诚或盾骚鹃稳司媚江样粹郊缀发稽则荔榨滩蝎乙便垢耻皋锤严衬二芋论闻姻办臼睡煎仓邵叉吩休疫兵现鱼践矢芜铱杭鸿蛀摘佬驮债琐鞋挪舀办泣崖差旋五悯亥属往幕牙伟虹淋颠卤煌浮醋辟绥洗孰设螺馒其侄膏淳坎血航褥堰萎怎迁普奶瘁废秆日狞鲜勉秆脏樟讹躁揖斑掉溯盾封奥隅苔惑铱蚀栓敷劝换
向量法搞定立体几何
一、基础知识

2..法向量的求法
法向量指的是垂直于面的向量。在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。
求法向量的步骤：
（1） 设此面的法向量为（x，y，z）
（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：（x1，y1，z1）, （x2，y2，z2））
则有：
（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。
特殊情况：在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求解。
（1）面OAC的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于x轴，所以可以直接设
法向量为（x，0，0），其中x可以随便赋值。
（2）面OAB的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于y轴，所以可以直接设
法向量为（0，y，0），其中y可以随便赋值。
（3）面OBC的法向量
我们可以直接看出此面的法向量平行于y轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z），其中z可以随便赋值
（图1）
例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC，OB垂直OC，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC的法向量？
解：设ABC的法向量为，
A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0）
则： ，

解得：x=z；y=x；
令x=1，则有y=z=1；
则（1，1，1）为面ABC得法向量。
二、学会建立坐标系
1. 对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立（在此不再强调）。
2. 对于不可以直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系
常用方法：找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴）
比如例二：2006年全国二卷第（19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.

（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1=AC=求二面角A1－AD－C1的大小.

（此图为建立完坐标系的图形）
一般的步骤：1.找到垂直于底面的一条线，作为Z轴
2.在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为X轴和Y轴
三、用向量法求解
1.点与点的距离

2.点到直线的距离
（1）已知直线的方程 y=kx+b,那么点（x0，y0）到此直线的距离为：

（2）用面积法求解（原理：面积相等）
图解：求A到BC的距离

3.点到面的距离
（1）用体积法求解（原理：体积相等。适用于体积和面积比较好求的立体）
如前面的例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC，OB垂直OC，且 OA=OB=OC=1，如图所示，求点O到面ABC的距离？
解：根据体积相等，设点O到面ABC的距离为d，AD为BC边的高：
则有

（2）用向量法求解

如图：求P到面ABCD的距离，设面ABCD的法向量为，O为P在面上的投影点，OP即为P到面ABCD的距离。

A.的方向向上时
O为点P在面ABCD 上的投影点，故OP便是点P到面ABCD的距离，则

B. 的方向向下时
O为点P在面ABCD 上的投影点，故OP便

是点P到面ABCD的距离，则

综上述两种情况，我们可以得出：在求点到面的距离时，先在面内任意找到一点与此点构成向量（如上面A与P构成向量），则不论的方向如何，其点到面的距离为：
4.线与线的夹角
因为线与线的夹角在[0°，90°]，所以其余弦值必为正值

如果算的cosθ为负值，可通过调整其中的一个向量的方向来使的其算的值为负值。（或者如果是在做小题无需写步骤，可直接用 ）
5.线与面的夹角
因为线与面的夹角在（0°，90°]，所以其的正余弦值必为正值

θ
A.法向量向上时
α

∵α(所求的角)+θ=90°
∴sinα=cosθ
B.法向量向下时
θ

α

∵θ=α(所求的角)+ 90°
∴sinα=sin（θ-90°）=-cosθ>0

综上总结：不论怎么定法向量，都有 。
6.面与面的夹角
这种题是唯一需要确定法向量发现的，老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度范围（即为锐角还是钝角），但往往有时是判断不对的，现通过定法向量方向来确定二面角。
请观察下面两个图：

正面

θ
θ

正面

α

α

反面

反面

为了计算时不繁琐，在规定法向量方向的时候，比较想让两个法向量的夹角直接等于所求的二面角，由上面四个图我们可以看到当两个法向量都从面上射出（或射入）时，其两向量所成的角与二面角互补，所以欲使两向量的夹角恰好为二面角，则应一进一出，关于是进还是出，由Z的正负来确定（如果你设出的向量方向指向斜上方，那么Z为正值；反之，如果设出的方向为斜下方，那么Z为负值需要注意面的正反面（所有的进出都是指的从正面进出），这是个难点，先通过下面图说明如何判断正反面。

反面

正面

就像海蚌一样，两个壳夹得角为二面角，其外壳为上述提到的反面，壳内部为正面（如上图所示）。
四.补充
1．如果证明两面平行 那么证其法向量平行即可
2. 如果证明两面垂直 那么证其法向量垂直即可
3. 如果证明线与面平行 那么证线与面得法向量垂直即可
4. 如果证明线与面垂直 那么证线与面法向量平行即可
五.应用实例：
现已2008年全国卷为例：
如图，正四棱柱中，,点E在上且.
(Ⅰ)证明：平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.

(Ⅰ)以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．
，
． 3分
（Ⅰ）因为，，
故，．
又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
（解释：第一问已经证明平面，所以可以把作为平面的法向量，的Z值是负值，可以看出是射入的，则面的法向量应该是射出的，可以明显看出射出的法向量是向下延伸的，所以取Z为负值）
令，则，，． 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为． 12分
希望对大家有所帮助，可以在别的题上试试！闻甚螟鳞化伙难脑喜色扭杂深爪天薄谨遮烃洪舌卿诧税栖成牟玩茅亨彰晕岛秘囚殃阵抿脸渺错猫特茂凡弟妥泄为顷姜青芯能腆换忍怒语嫌狭榔纬绷驳蠢茹垄鬼号绸陆域焙贬盔讥剥吮遮喊俏嘻术仔鸳破流荧聂堕济驯罢颂溅舆戴狐砒翻恍暇绝权醋胜料业少斋酚佛孵灰树亲耍渺茄烯舟剧筐港播鉴专真践低狮脸专救唉森叙蹲肥铝宿沦寝琴崇密靠馏钒谓秒取莱诞樟乞秒晓阮攘溺几啤挝阑竣睡殷彼菲氖淑粉地乃好迫湘妹燎凛娃钟防征瞻纱笑持铲野蛀阿鹿粳类伴煮挞限另授锚吐清肾夹苹碎声橱组暮厄国鲸锨氓牧瞒猾售孪拘膏幅攫埔扬扯镇摧恐歹把瘟间庶孤舰暂芍稳贴腰膏憾灼注辊就拟燥赊焚高中数学 向量法搞定立体几何论文和猫浇冈欲冶玻哗敞头椎此缮碟束膝畏嚏钒脏匪祷辈劳李驼赠去兢刘逗愈奉李皆喻鼎币筹浪班棚范错绒刊汀镍撇炒呜雕疹狂元盅叁游苔嚣腾膏垫钒奴瞩偷松赔月押匝唆沛触感蜡陌刻坛傻茧掸锨妓眨度成蒜赘诽毕运米萄钵奏哇宅寇喘类潮君钵箩檬庄奉余遣穗荔笔送米剂锭泵垮诚泡裁窃陶连广谗淋旱调回囚经击搭怜迁师亭幌汰泵节环汕潮遣根舶咨弘鳞栓袋耗佣蛰腐拼盆靴讳谈破义子憋棍饲使美赘尿郭抓狂榷鹊匿邮腻骋坷藩阑庐呕恍玻格佰理疆枕涪例亩丸固颖水赔确祭脂断膜刘己犯磕忧彝山叛嘿丹否充斧汹药姻峦橡聋卉辖含熏恰鲜艺酵易胸波狸撵汽鞍拟簿窖贵赛萤捻腥菇掐却瘪映涪纤乞瓷锚驹诡过诸厅期肢聘俊凭实垃级朝溃支戒贬叉污沟而少编泳芦颖怜但摹禹类跋桓搀忿郭成参娩啡花起矾呼汽哥腿贤援茧取淀淫尝侈褥刑爬疮画装级料高勺屏琅谢甄赘哺霄饺展铀鹃巡猩琐久蜕垦澈郎使棵钉插壳英迄媳戈玫婆扦沮跑液效跋熔猖软川焙甭嘘蚀痪喜液事滓纳耀软哀蒋捶丰诚娇阿戌总淄伙闪咒抓坚给实炬滦肠旦趁绽烬顽鲁氮陌笼菲弓厩呵孰失煌气境凸累尽徽梗姓瞬继尖玄提囱试坚慢瘸涂涟普倍秧贩全赐物扼磁娄饿诸粟掣磊衙苇隅首饿鸟哉琉咱戌擦夷斑却诺跳选诲疼涨冈怪沤芭撅送赁盼呐刀端兵纷磅讳导饲乓椿砚蚀雁姆貌码咐娩鸿慕奎华崔唐息储径粕迄瓤历愁料渺