1、一、 简答题（20分）
1、 在推导弹性力学基本方程的平衡微分方程、几何方程和物理方程中分别运用了弹性力学的哪些基本假设？（5分）
平衡微分方程利用了连续性假定和小变形假定
几何方程也利用了连续性假定和小变形假定
物理方程利用了连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定
2、 弹性力学的应力分量在物体内部和边界上应满足什么条件才可能是解？应满足什么条件才是客观的、真实存在的唯一的解？（5分）
3、试写出平面问题的平衡方程、几何方程、本构（物理）方程。（5分）
4、在弹塑性力学中，用张量符号表示的方程所代表的物理意义是什么？写出方程的全称。（5分
2、
二、计算题（80分）
1、对于无体力的平面应力问题，如果一组连续的位移函数、可作为问题的解，试证明该位移函数必须满足 。
其中， ，m 为泊松比。（20分）
P
x
p/4
y
2Ph
2、建筑在水下的墙体受水压、集中力和集中力偶作用，如图所示。已知墙体的端部与水平面等高，水的比重为g 。设应力函数为。试求墙体的应力分量。（20分）
3、 已知一弹性力学问题的位移解为：
；；；
式中a为已知常数。试求应变分量，并指出它们能否满足变形协调条件（即相容方程）。
3、
4、设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容重为。若采用纯三次多项式：
作应力函数，式中A、B、C、D为待定常数。试求此悬臂梁的应力解。
5、矩形截面柱体承受偏心载荷作用，如果不计柱体自身重量，则若应力函数为j =Ay3+By2
试求应力分量。设O点不动，且其任意微线元不转动，求轴线的挠曲线方程。
l
y
x
h/4
h/2
h/2
1
P
O
6 矩形截面柱侧面受均布载荷q的作用，如图所示。试求应力函数及应力分量（不计体力）。
y
x
1
q
O
h
4、
7、如下图所示：为一由二杆组成的结构(二杆分别沿X、Y方向)结构参数：，。
试写出下列FEM分析
(1) 写出各单元的刚度矩阵；
(2) 写出总刚度矩阵；
(3) 求出节点2的位移、；
(4) 求各单元应力。(20分）
2.
3.
4.
5.（类似）
6.（不全）
5、
4.如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。
O
x
y
a
rg
解：纯三次的应力函数为
相应的应力分量表达式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
上边，，，，没有水平面力，所以有
对上端面的任意x值都应成立，可见
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
对上端面的任意x值都应成立，可见
因此，应力分量可以简化为
6、
斜面，，，，没有面力，所以有
由第一个方程，得
对斜面的任意x值都应成立，这就要求
由第二个方程，得
对斜面的任意x值都应成立，这就要求
（1分）
由此解得
（1分），
从而应力分量为
, ,
设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为。因此，所求在这部分边界上合成的主矢应为零，应当合成为反力。
可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
6.如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。
O
x
7、y
b
q
rg
解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知
将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即
，
这两个方程要求
，
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
对应应力分量为
8、
以上常数可以根据边界条件确定。
左边，，，，沿y方向无面力，所以有
右边，，，，沿y方向的面力为q，所以有
上边，，，，没有水平面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
将的表达式代入，并考虑到C=0，则有
而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
，
将的表达式代入，则有
由此可得
，，，，
应力分量为
, ,
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。
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