高考真题理科数学全国II卷.doc

理科数学 2017年高三2017年全国甲卷理科数学
理科数学
考试时间：____分钟
题型
单选题
填空题
简答题
总分
得分

单选题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。）
1．(     )
A.
B.
C.
D.
2．设集合，．若，则(      )
A.
B.
C.
D.
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(          )
A. 1盏
B. 3盏
C. 5盏
D. 9盏
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(        )

A.
B.
C.
D.
5．设，满足约束条件，则的最小值是(       )
A.
B.
C.
D.
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(         )
A. 12种
B. 18种
C. 24种
D. 36种
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(          )
A. 乙可以知道四人的成绩
B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩
D. 乙、丁可以知道自己的成绩
8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的(       )

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为(          )
A. 2
B.
C.
D.
10．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(         )
A.
B.
C.
D.
11．若是函数的极值点，则的极小值为(        )
A.
B.
C.
D. 1
12．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是(        )

A.
B.
C.
D.
填空题 （本大题共4小题，每小题____分，共____分。）
13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．
14．函数的最大值是____________．
15．等差数列的前项和为，，，则_______．
16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
简答题（综合题） （本大题共7小题，每小题____分，共____分。）
17．（12分）
的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
18．（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：，
19．（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点．

（1）证明：直线平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
21．（12分）
已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
所以．
22．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
23．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．证明：
（1）；
（2）．

答案
单选题
1.  D 2.  C 3.  B 4.  B 5.  A 6.  D 7.  D 8.  B 9.  A 10.  C 11.  A 12.  B
填空题
13. 

14. 
1
15. 

16. 
6
简答题
17. 
（1）      （2）
18. 
（1）   （2）见解析   （3）
19. 
（1）见解析；    （2）
20. 
（1）；（2）见解析
21. 
（1）；（2）见解析
22. 
（1）．（2）
23. 
（1）见解析（2）见解析
解析
单选题
1. 
由复数的除法运算法则有：，故选D.
2. 
由得，即是方程的根，所以，，故选C．
3. 
设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．
4. 
由题意，其体积，其体积，故该组合体的体积．故选B．
5. 
绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值，最小值为．故选A.

6. 
由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D．
7. 
四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8. 
阅读程序框图，初始化数值．
循环结果执行如下：
第一次：；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
第五次：；
第六次：；
结束循环，输出．故选B．
9. 
取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为
得，，．
10. 
如图所示，补成直四棱柱，
则所求角为，
易得，因此，故选C．

11. 
，
则，
则，，
令，得或，
当或时，，
当时，，
则极小值为．
12. 
如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，
，当时，所求的最小值为，故选B．

填空题
13. 
由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．
14. 
化简三角函数的解析式，则
，由可得，当时，函数取得最大值1．
15. 
设首项为，公差为．
则

求得，，则，

16. 
如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．

简答题
17. 
（1）依题得：．
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）由⑴可知．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 
（1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件
“新养殖法的箱产量不低于”为事件
而

（2）

由计算可得的观测值为

∵
∴
∴有以上的把握产量的养殖方法有关．
（3），
，
，∴中位数为．
19. 
（1）令中点为，连结，，．
∵，为，中点，∴为的中位线，∴．
又∵，∴．
又∵，∴，∴．
∴四边形为平行四边形，∴．
又∵，∴
（2）取中点，连，由于为正三角形
∴
又∵平面平面，平面平面
∴平面，连，四边形为正方形。
∵平面，∴平面平面
而平面平面
过作，垂足为，∴平面
∴为与平面所成角，
∴
在中，，∴，
设，，，
∴，∴
在中，，∴
∴，，
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，
，
设平面的法向量为，，∴
∴，而平面的法向量为
设二面角的大角为（为锐角）
∴

20. 
（1）设，设，．
由得．
因为在C上，所以．
因此点P的轨迹方程为．
（2）由题意知．设，
则，．
由得，又由（1知，故，
所以，即．
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．
21. 
（1）的定义域为
设，则等价于
因为
若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故
综上，
⑵ ，，．
令，则，．
令得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以，．
因为，，，，
所以在和上，即各有一个零点．
设在和上的零点分别为，因为在上单调减，
所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点．
因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点．
所以，有唯一的极大值点．
由前面的证明可知，，则．
因为，所以，则
又，因为，所以．
因此，．
22. 
⑴设
则．

解得，化为直角坐标系方程为．
（2）设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积

当时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23. 
（1）

（2）因为

所以，因此.