直线和平面垂直的判定省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

复习回顾：空间直线和平面有几个位置关系？A第2页大桥桥柱与水面垂直大桥桥柱与水面垂直生活中有很多直线与平面垂直实例生活中有很多直线与平面垂直实例实例引入实例引入第3页第4页大漠孤烟直大漠孤烟直第5页AB第6页AB第7页AB第8页AB第9页AB第10页AB第11页AB第12页AB第13页CC1B1AB内过点内过点B直线直线AB所在直线所在直线内不过点内不过点B直线直线AB所在直线所在直线内内任意一条任意一条直线直线AB所在直线所在直线第14页一、直线和平面垂直定义一、直线和平面垂直定义假如一条直线和一个平面相交，而且和这个平假如一条直线和一个平面相交，而且和这个平面内任意一条直线都垂直，我们就说面内任意一条直线都垂直，我们就说这条直线这条直线和这个平面垂直和这个平面垂直.其中直线叫做其中直线叫做平面垂线平面垂线，平面，平面叫做叫做直线垂面直线垂面.交点叫做交点叫做垂足垂足.A A平面垂线平面垂线直线垂面直线垂面垂足垂足第15页 LP直线和平面垂直画法直线和平面垂直画法:通常把直线画成和表示平面平行通常把直线画成和表示平面平行四边形一边垂直。四边形一边垂直。第16页深入了解深入了解“线面垂直定义线面垂直定义”判断以下语句是否正确：（若不正确请举反例）判断以下语句是否正确：（若不正确请举反例）1.1.假如一条直线与一个平面垂直，那么它与平假如一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内全部直线都垂直面内全部直线都垂直.（）2.2.假如一条直线与平面内无数条直线都垂直，假如一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直那么它与平面垂直.（）ba第17页 利用定义，我们得到了判定线面垂直最基本利用定义，我们得到了判定线面垂直最基本方法，同时也得到了线面垂直最基本性质方法，同时也得到了线面垂直最基本性质.探索新知：探索新知：不过，直接考查直线与平面内不过，直接考查直线与平面内全部全部直线都直线都垂直是垂直是不可能不可能，这就有必要去寻找比定义法，这就有必要去寻找比定义法更更简捷、更可行简捷、更可行直线与平面垂直方法直线与平面垂直方法!第18页探索新知：探索新知：做一做一做做想一想一想想ABCD1.1.折痕折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？2.2.怎样翻折才能使折痕怎样翻折才能使折痕ADAD与桌面所在平面垂直？与桌面所在平面垂直？请同学们拿出一块三角形纸片，请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形顶我们一起做一个试验：过三角形顶点点A A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕ADAD，将翻，将翻折后纸片竖起放置在桌面上（折后纸片竖起放置在桌面上（BDBD、DCDC与桌面接触）与桌面接触）第19页 当且仅当折痕当且仅当折痕 AD 是是 BC 边上高时，边上高时，AD所所在直线与桌面所在平面在直线与桌面所在平面 垂直垂直2.2.怎样翻折才能使折痕怎样翻折才能使折痕ADAD与桌面所在平面垂直？与桌面所在平面垂直？探索新知：探索新知：第20页探索新知：探索新知：由刚才分析能够知道，直线与平面垂直判由刚才分析能够知道，直线与平面垂直判定需要哪几个条件？定需要哪几个条件？你能依据刚才分析归纳出你能依据刚才分析归纳出直线与平面垂直线与平面垂直判定定理直判定定理吗吗 (1)(1)平面有两条直线平面有两条直线 (2)(2)这两条直线要相交这两条直线要相交(3)(3)平面外直线要与这两条直线都垂直平面外直线要与这两条直线都垂直第21页二、二、直线与平面垂直判定定理：直线与平面垂直判定定理：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直mnP 一条直线与一个平面内两条一条直线与一个平面内两条相交相交直线直线都都垂垂直直，则该直线与此平面垂直。，则该直线与此平面垂直。一相交两垂直一相交两垂直第22页判断以下命题是否正确？判断以下命题是否正确？(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直过一点有且只有一条直线和一个平面垂直()(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直过一点有且只有一个平面和一条直线垂直()PP第23页例例1.1.在下列图长方体中，请列举与平面在下列图长方体中，请列举与平面ABCDABCD垂直直线。并说明这些直线有怎样位置关系垂直直线。并说明这些直线有怎样位置关系？第24页例例2、在正方体、在正方体AC1中，求证：中，求证：(2)D1B平面平面ACB1(1)AC平面平面D1DBC1BD1ACA1DB1第25页C1BD1ACA1DB1例例2、在正方体、在正方体AC1中，求证：中，求证：(2)D1B平面平面ACB1由异成直线所成角知由异成直线所成角知D1B平面平面ACB1第26页例例3、三棱锥、三棱锥V-ABC中，中，VA=VC,AB=BC,K是是AC中点。中点。（1）求证：）求证：AC 平面平面VKB（2）求证：求证：VB ACABCVK(1)(1)连接连接VK,KBVK,KB，由，由VA=VC,KVA=VC,K为为ACAC中中点，由三线合一可知点，由三线合一可知VK VK AC,AC,同理可得同理可得KB ACKB AC，且，且VKKB=KVKKB=K 所以所以AC AC 平面平面VKB VKB (判定定理判定定理)(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，AC AC 平面平面VKBVKB又因为又因为VB VB 平面平面VKBVKB 所以所以VB VB AC (定义定义)第27页变式：变式：1、在例、在例3中若中若E、F分别为分别为AB、BC 中点，中点，试判断试判断EF与平面与平面VKB位置关系位置关系 AVBCE EF FK例例3、三棱锥、三棱锥V-ABC中，中，VA=VC,AB=BC,K是是AC中点。中点。（1）求证：）求证：AC 平面平面VKB（2）求证：求证：VB AC2、在、在1条件下，有些人说条件下，有些人说“VBAC，VBEF，VB平面平面ABC”，对吗？，对吗？第28页BCDAFE第29页第30页如图如图,点点Q是是是点是点P到平面垂线段到平面垂线段pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做过一点向平面引垂线，垂足叫做这这点在这个平面上射影；点在这个平面上射影；这点与垂足间线段叫做这点与垂足间线段叫做这点到这个这点到这个平面垂线段平面垂线段。一一.斜线在平面内射影斜线在平面内射影.垂线、斜线、射影垂线、斜线、射影()垂线垂线点点P在平面在平面 内射影内射影线段线段PQ第31页（2 2）斜线）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面这个平面垂直，这条直线叫做这个平面斜线斜线斜线和平面交点叫斜线和平面交点叫做做斜足斜足。从平面外一点向平从平面外一点向平面引斜线，这点与斜面引斜线，这点与斜足间线段叫做这点到足间线段叫做这点到这个平面这个平面斜线段斜线段PR第32页如图：是斜线如图：是斜线AC在内射影，线段在内射影，线段BC是是ACB过斜线上斜足以外一点向平面引垂过斜线上斜足以外一点向平面引垂线，过垂足和斜足直线叫做线，过垂足和斜足直线叫做斜线在这个斜线在这个平面上射影平面上射影 垂足与斜足间线段叫做这点到平面垂足与斜足间线段叫做这点到平面斜线段在这个平面上射影斜线段在这个平面上射影()射影射影直线直线BC斜线段斜线段AC在内射影在内射影第33页ACBFE说明：说明：斜线上斜线上任意一点在平面任意一点在平面上射影，一定在上射影，一定在斜线射影上。斜线射影上。思索：思索：斜线上一个点在平面上射影会斜线上一个点在平面上射影会在哪呢在哪呢？第34页思索思索：从平面外一点从平面外一点向这个平面引垂线段和向这个平面引垂线段和斜线段，它们射影和线段本身之间有什斜线段，它们射影和线段本身之间有什么关系？么关系？从平面外一点从平面外一点向这个平面所引垂线段向这个平面所引垂线段和斜线段和斜线段AB、AC、AD、AE中，那一中，那一条最短？条最短？ACBDE 垂线段比任何垂线段比任何一条斜线段都短一条斜线段都短第35页 假如两条直线同时垂直于一个平面，那么假如两条直线同时垂直于一个平面，那么 这两条直线平行。这两条直线平行。3.直线与平面垂直性质定理直线与平面垂直性质定理第36页 例例 2 2、如如 图图，已已 知知 AC、AB分分 别别 是是 平平 面面 垂垂 线线 和和 斜斜 线，线，C、B分别是垂足和斜足，分别是垂足和斜足，a ，aBC。求证：求证：aABA Aa aC CB B线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直三垂线定理三垂线定理:在平面内一条直线在平面内一条直线,假如它和这个平面一条斜线假如它和这个平面一条斜线射影垂直射影垂直,那么它就和这条斜线垂直那么它就和这条斜线垂直.第37页A Aa aC CB B变变:如图，已知如图，已知AC、AB分别是平面分别是平面垂线和斜线垂线和斜线,C、B分别是垂足和斜足，分别是垂足和斜足，a ，。aAB三垂线定理逆定理三垂线定理逆定理:假如平面内一条直线与这个平面一条假如平面内一条直线与这个平面一条斜线垂直斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内射影垂直那么这条直线就和这条斜线在这个平面内射影垂直.求证求证:aBC第38页外外中中垂垂巩固练习：巩固练习：第39页已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC三条侧棱三条侧棱PA=PB=PCPA=PB=PC试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC射影位置？射影位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形为三角形ABC外心外心第40页已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC三条三条侧棱侧棱PA,PB,PCPA,PB,PC两两两垂直两垂直,试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC射影位置射影位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC垂心垂心DO第41页已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC顶点顶点P P到底面三角形到底面三角形ABCABC三条边距离相等三条边距离相等,试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC射影位置？射影位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC内心内心OEF第42页经典：经典：四面体四面体P-ABC顶点顶点P在平面上射影为在平面上射影为O(1)P到三顶点距离相等到三顶点距离相等(3)P到三边到三边AB、BC、AC距离相等距离相等(2)侧棱两两垂直侧棱两两垂直PABCO外外垂垂内内 O是是 ABC心心 O是是 ABC心心 O是是 ABC心心第43页对棱两两垂直对棱两两垂直OPABC例：例：四面体四面体P-ABC中，中，若三棱锥有两组对边相互垂直，则若三棱锥有两组对边相互垂直，则另一组对边必定垂直另一组对边必定垂直O O是垂心是垂心垂垂 O是是 ABC心心第44页练习练习3.3.假如两直线垂直于同一个平面假如两直线垂直于同一个平面,那么这那么这两条直线平行两条直线平行练习练习2.2.过一点只有一个平面和一条直线垂直过一点只有一个平面和一条直线垂直练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直结论1.结论2.结论3.惯用结论发散惯用结论发散第45页结论结论1：过一点有且只有一个平过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。面和已知直线垂直。结论结论2：假如两条平行直线中一假如两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。条直线也垂直于这个平面。结论结论3：假如两条直线同垂直于假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。一个平面，那么这两条直线平行。第46页直线和平面垂直判定直线和平面垂直判定 例例例例 求证：假如两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。已知：，。求证：。证实：方法1设是 内 任意一条直线。第47页小试牛刀小试牛刀第48页线面垂直性质定理：线面垂直性质定理：符号语言：符号语言：图形语言：图形语言：垂直于同一平面两直线相互平行垂直于同一平面两直线相互平行.ab 第49页例例2.2.如图，已知如图，已知abab、a.a.求证：求证：b.b.（线面垂直 线线垂直）（线线垂直 线面垂直）第50页例例2 2、如图，已知、如图，已知abab，aa。求证：求证：bb。例题示范例题示范,巩固新知巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直定义可知，直由直线与平面垂直定义可知，直线线a a与这两条相交直线是垂直，又与这两条相交直线是垂直，又由由b b平行平行a a，可证，可证b b与这两条相交直与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面线也垂直，从而可证直线与平面垂直。垂直。ab阅读阅读P66P66页页证实过程证实过程.第51页、判断以下命题正误。、判断以下命题正误。（2 2）垂直垂直于同一于同一直线直线两条直线相互平行（两条直线相互平行（）（3 3）平行平行于同一于同一平面平面两条直线相互平行（两条直线相互平行（）（4 4）垂直垂直于同一于同一平面平面两条直线相互平行（两条直线相互平行（）（1 1）平行平行于同一于同一直线直线两条直线相互平行（两条直线相互平行（）五、过程设计五、过程设计(三三)线面垂直性质定理应用线面垂直性质定理应用第52页(1)若若PA=PB=PC，则，则O是是ABC .PABC O外心外心例例4.4.关于三角形四心问题关于三角形四心问题 设设O为三棱锥为三棱锥PABC顶点顶点P在底面上射影在底面上射影.综合练习：综合练习：第53页(2)若若PA=PB=PC,C=900,则则O是是AB_点点.中中PABC O例例4.4.关于三角形四心问题关于三角形四心问题综合练习：综合练习：第54页垂心垂心EFPABC O (3)若三条側棱两两相互垂直若三条側棱两两相互垂直,则则O是是ABC .例例4.4.关于三角形四心问题关于三角形四心问题综合练习：综合练习：第55页EFPABC O (5)若三条側棱与底面成相等角，则若三条側棱与底面成相等角，则O是是ABC_.外心外心例例4.4.关于三角形四心问题关于三角形四心问题综合练习：综合练习：第56页例例1、已知直角、已知直角ABC所在平面外有一点所在平面外有一点P，且，且PA=PB=PC，D是斜边是斜边AB中点，中点，求证：求证：PD 平面平面ABC.ABCPD 证实：证实：PA=PB，D为为AB中点中点 PD AB，连接，连接CD，D为为Rt ABC斜边中点斜边中点 CD=AD,又又PAPC,PD=PD PADPCD 而而PD AB PD CD,CDAB=D PD 平面平面ABC第57页例例2、如图、如图 平面平面、相交于相交于PQ，线段线段OA、OB分别垂直平面分别垂直平面、，求证：求证：PQ ABPQOAB证实：证实：OA PQ OA PQ OB,PQ OB PQ 又又OAOB=0 PQ 平面平面OAB 而而AB平面平面OAB PQ AB第58页SABCH第59页SABCH第60页1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC平面BDMMABCDO第61页ABCD证实：E 2.在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线求证：对角线AC BD。CEAEEBD,连接中点取ACBDACEAC,平面Q=ACEBDECEAE,平面又QBDCEDCBC=,QBDAEADAB=,Q第62页PABCO3.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 直径，直径，C 在圆周上在圆周上,且且PA AC,PA AB,求证：（求证：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC第63页典例 平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC外心，求证：PO平面ABC.第64页【解】如图所表示，分别取AB，BC中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PAPBPC，所以PDAB，PEBC，因为O是ABC外心，所以ODAB，OEBC，又因为PDDOD，OEPEE，所以AB平面PDO，BC平面PEO，于是有ABPO，BCPO，ABBCB，从而推得PO平面ABC.第65页中中外外垂垂重心重心:三条中线交点三条中线交点垂心垂心:三条高交点三条高交点外心外心:三条垂直平分线交点三条垂直平分线交点(到到三个顶点距离相等三个顶点距离相等)内心内心:三角平分线交点三角平分线交点中心中心:正正重心、垂心、内心、外心重合点重心、垂心、内心、外心重合点第66页巩固练习巩固练习VABC第67页直线与平面垂直判定与性质直线与平面垂直判定与性质直线与平面垂直判定与性质直线与平面垂直判定与性质 解题分析解题分析:第68页第69页解题小结解题小结:第70页例例1 1 如图如图,在在RtABCRtABC中中,已知已知C=90,C=90,AC=BC=1,PA AC=BC=1,PA面面ABC,ABC,且且PA=,PA=,求求(1)PB(1)PB与面与面ABCABC所成角所成角 (2)PB(2)PB与面与面PACPAC所成角所成角.B BC CA AP P第73页巩固练习巩固练习1.1.平行四边形平行四边形ABCDABCD所在平面所在平面 外有一点外有一点P P，且，且PAPA=PBPB=PCPC=PDPD，求证：点，求证：点P P与平行四边形对角线交与平行四边形对角线交点点O O连线连线POPO垂直于垂直于ABAB、AD.AD.CABDOP第74页/10/10例例2：如图，在棱长为如图，在棱长为1正方体中正方体中 (1)求求B1D 与平面与平面ABCD所成角正切；所成角正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求求A1C1 与平面与平面ABC1D1所成角；所成角；(3)求求BB1 与平面与平面A1BC1所成角正切所成角正切MH第75页/10/10例例5：ABC定点在平面定点在平面内，点内，点A、C在平面在平面 同侧，同侧，AB、BC与与所成角分别是所成角分别是300和和 450若若AB3，BC42，AC5，求，求AC 与平面与平面所成角所成角 ABCA1C1E第76页/10/10例例6：如图，如图，P是正方形是正方形ABCD所在平面外一点，所在平面外一点，PA平面平面ABCD，AE PD，PA3AB求求 直线直线AC与平面与平面ABE所成角正弦值所成角正弦值 PABCDE第77页 【5】如图如图,AB为平面为平面一条斜线一条斜线,B为斜足为斜足,AO平面平面,垂足为垂足为O,直线直线BC在平面在平面内内,已知已知ABC=60,OBC=45,则斜线则斜线AB和平面和平面所所成角是成角是_.ACODB45设设OB=2,第78页引课引课我们知道我们知道,当直线和平面垂直时当直线和平面垂直时,该直线叫做平面该直线叫做平面垂线。假如直线和平面不垂直垂线。假如直线和平面不垂直,是不是也该给它取是不是也该给它取个名字呢个名字呢?此时又该怎样刻画直线和平面这种关系此时又该怎样刻画直线和平面这种关系呢呢?第79页如图如图,若一条直线若一条直线PAPA和一个和一个平面平面相交相交,但不垂直但不垂直,那么那么这条直线就叫做这个平面斜这条直线就叫做这个平面斜线线,斜线和平面交点斜线和平面交点A A叫做斜叫做斜足。足。PA斜足斜足斜线斜线第80页A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例1 1、如图，正方体、如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求（1 1）直线）直线A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1所成角。所成角。（2 2）直线）直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成角。所成角。O例题示范例题示范,巩固新知巩固新知分析分析:找出直线找出直线A A1 1B B在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD内射影内射影,就能够求出就能够求出A A1 1B B和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成角。所成角。阅读教科书阅读教科书P67上解答过程上解答过程第81页AGFEDCBHHC与平面与平面ABCD 所成角是？所成角是？BG和和EA与平面与平面ABCD所成角所成角 分分别是？别是？GBC与与EABHCDEC和和EG与平面与平面ABCD所成角分别是？所成角分别是？ACE练习练习:正方体正方体ABCDEFGH中中第82页2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中射影中射影（2）AB1在面在面A1B1CD中射影中射影（3）AB1在面在面CDD1C1中射影中射影A1D1C1B1ADCB巩固练习巩固练习第83页2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中射影中射影（2）AB1在面在面A1B1CD中射影中射影（3）AB1在面在面CDD1C1中射影中射影A1D1C1B1ADCBO线段线段B1O巩固练习巩固练习第84页2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中射影中射影（2）AB1在面在面A1B1CD中射影中射影（3）AB1在面在面CDD1C1中射影中射影A1D1C1B1ADCBE线段线段B1E巩固练习巩固练习第85页2.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中射影中射影（2）AB1在面在面A1B1CD中射影中射影（3）AB1在面在面CDD1C1中射影中射影A1D1C1B1ADCB线段线段C1D巩固练习巩固练习第86页3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成角所成角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成角所成角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成角所成角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成角所成角A1D1C1B1ADCB0o巩固练习巩固练习第87页3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成角所成角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成角所成角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成角所成角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成角所成角A1D1C1B1ADCB90o巩固练习巩固练习第88页3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成角所成角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成角所成角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成角所成角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成角所成角A1D1C1B1ADCB45o巩固练习巩固练习第89页3.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1与面与面ABCD所成角所成角（2）A1C1与面与面BB1D1D所成角所成角（3）A1C1与面与面BB1C1C所成角所成角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成角所成角A1D1C1B1ADCBE30o巩固练习巩固练习第90页线线垂直线线垂直相交垂直（共面垂直）相交垂直（共面垂直）异面垂直异面垂直第91页