Bose-Einstein凝聚态基态解的加权数值方法及稳定性分析.pdf

第 卷第 期 年 月北京信息科技大学学报（自然科学版）（）文 章 编 号：（）：凝聚态基态解的加权数值方法及稳定性分析吕思琪，廖翠萃（江南大学 理学院，无锡 ）摘要：构造加权法离散归一化梯度流，求解玻色 爱因斯坦凝聚态（，）的基态解，整合和扩充了离散归一化梯度流的经典有限差分法。同时，结合冯诺伊曼（）条件和冻结系数法证明了不同加权因子下数值格式的稳定性条件。从局部截断误差大小来看，加权法的最优加权因子为 。数值实验验证了加权法的稳定性条件，表明加权法可有效求解基态，且在求解过程中能量随时间演化呈递减趋势。另外，当加权因子取值为 时，数值结果展示对应数值格式在空间方向具有二阶收敛性。关键词：玻色 爱因斯坦凝聚态；基态解；加权法；稳定性；归一化梯度流中图分类号：文献标志码：，（，）：（），：；收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（，）；江苏省自然科学基金项目（）作者简介：第一作者：吕思琪，女，硕士研究生；通信作者：廖翠萃，女，副教授。引 言玻 色 爱 因 斯 坦 凝 聚 态（，）是稀释玻色子气体在温度冷却到接近绝对零度时的状态。此时，几乎所有玻色子占据最低量子态，从而产生可观察的宏观量子态。它是物质的一种超流体状态。处于这种状态的物质在性质上不同于通常的固态、液态、气态、等离子态，因此也被称为第五态 。年，爱因斯坦将玻色关于光子 的量子统计学工作推广到非相互作用玻色子气体中，第一次从理论上提出了 。直到 年，科学家们才第一次在 蒸汽中观察到 。随着对 的研究，其他新现象被观察到，如 的相干性、超冷 原子气体等 。超低温下，的性质一般用非线性薛定谔方程（，）来模拟，也称第 期吕思琪等：凝聚态基态解的加权数值方法及稳定性分析为 （）方程 。的宏观行为可以用 方程的解来描述 。有很多潜在的应用，如优化光学信息存储、减慢光速等 。因此，研究 不仅可以让人们更好地认识微观世界，对物理发展也起到至关重要的作用。目前有很多模拟 基态的数值方法。等 基于牛顿迭代法使用多重网格差分格式，提高了模拟的整体效率。等 基于快速傅里叶变换的标准伪光谱法并利用预条件非线性共轭梯度法，模拟 和带旋转 方程的基态。刘文杰等 把 基态解问题转化成能量泛函极值问题，使用 配置谱方法离散能量泛函，获得高精度的基态解。等 使用新型自适应有限元法，提高了求解效率，并从理论上对该方法做了收敛性分析。等 使用正则化牛顿法获得 的基态数值解，同时建立了收敛性，数值展示了此方法的快速高效性。曹蕊等 在求 基态解时，分别使用线性化方法和迭代法求解非线性方程，发现这 种处理手段均可有效地求解基态。等 通过使用 向 后 欧 拉 有 限 差 分（，）法、向 后 欧 拉 伪 光 谱（，）法离散连续归一化梯度流，求得 的基态解。等 将不连续伽辽金法和半隐式法相结合离散归一化梯度流，模拟多维度不同势阱限制下的 基态。冯悦 依据基态解不光滑的特性，使用时空自适应有限元法离散归一化梯度流，获得高维势阱下 的基态解。本文整合和扩充了离散归一化梯度流的经典有限差分法，使用归一化梯度流法获得 方程的基态解。首先，用加权法数值离散归一化梯度流。其次，结合使用冯诺伊曼（）条件和冻结系数法证明加权因子取不同值时，其对应的数值格式达到稳定时所需要的条件也不同。最后，通过数值实验验证加权法可以有效求解 基态，同时求解过程中的能量随时间呈递减趋势。当加权因子取值为 时，数值展示了对应差分格式的空间收敛阶。方程本文探究如下无量纲 方程 的基态解：（，）(（）（，）)（，）（）初始条件为（，）（）（）式中：表示时间；表示空间位置，为空间维度；槡 为虚数单位；为梯度算子，为拉普拉斯算子；（）代表外部势阱，是一个实值函数并且满足 （）；为无量纲参数，表示粒子间的相互作用。式（）的波函数有 个不变量。一个是波函数的归一化即粒子的质量：（）（，）（，）（）另一个是粒子的能量：（，）（，）（）（，）（，）（）式（）的基态解满足下述形式：（，）（）（）式中：为冷凝物的化学势；（）为与时间无关的实函数。把式（）代回式（）中并化简得 （）（）（）（）（，）（，）（）其中，（）满足归一化条件：（）（）（）式（）是一个在归一化条件式（）限制下的非线性特征值问题。任何特征值 都可由与其对应的特征函数 （）得到，数学表达式为（）（）（）（）（）（）（）（）其中，（）是由式（）给出的与 有关的能量函数，对应表达式为（）（）（）（）（）（）在物理上，方程（）的基态解 定义为 （）（）其中，球面约束 的定义是 （）（），（）（）因此，基态问题可以看作非凸极小化问题的最优值问题。换言之，基态就是单位球面上最低能量态对应的特征函数。北京信息科技大学学报（自然科学版）第 卷 归一化梯度流由 方程的基态解在无穷远处呈指数型衰减的特性 ，在施加齐次 边界条件的有界区域 中考虑问题。本文讨论一维 方程的基态解，故限制 ，。首先，在式（）中使用虚时间法，即用 代替，得到梯度流：（）（）（）（）（）（）（）再将式（）差分，得到对应的数值格式。定义时间步长 ，以及时间序列 （，），在每个时间间隔 ，结束时，把得到的数值投影回单位球面上，处理方式为（，）（，）（，）（）式中：（，）（，）。式（）和式（）满足的初始条件为（，）（）（）边界条件为（，）（）式（）（）被称为归一化梯度流法 。从数值方法的角度看，梯度流式（）可以看做是在没有约束的情况下对能量泛函 （）使用最速下降法，接着用式（）将解投影回单位球面，以满足约束条件（）。由归一化梯度流算法（式（）（）求得的基态解具有如下性质：引理 在式（）中，外部势阱 （）恒成立，无量纲参数 ，且初始值满足（）。式（）（）满足归一化条件及能量递减特性：（，）（，）（）（）（，）即（，）（，）加权法离散归一化梯度流 加权格式推导首先，分别在空间方向和时间方向进行均匀剖分，并记空间步长 ：（），其中 为剖分所得网格总数，时间步长 ：。将空间节点下标的集合记为 ，于是将空间节点和时间节点分别记为：，；：，。记 是 （，）在 节 点（，）处 对 应 的 数 值 解，（，）代表第 时间层上的数值。代表函数 在节点（，）处关于 的二阶偏数值。记有限差分算子：（）（）接着，在第 时间层上，对时间方向使用向前差分，空间方向使用中心差分，此时式（）的离散形式为 （）（）在第 时间层上，对时间方向使用向后差分，空间方向使用中心差分，此时式（）的离散形式为 （）（）设 为加权因子，为介于 到 之间的任意一个实数，满足 ，。将差分格式（）和（）两边分别乘以 和（），并相加得到数值格式：（）（）（）（）（）式（）即为加权数值格式。特别地，当 时，格式（）是 离散归一化梯度流；当 时，格式（）对应为 有限差分（，）法离散归一化梯度流；当 时，格式（）对应为向前欧拉有限差分（，）法离散归一化梯度流。加权数值格式稳定性分析在差分格式（）中令 ，于是将其简写为（）（）（）（）（）（）第 期吕思琪等：凝聚态基态解的加权数值方法及稳定性分析这里将式（）中的离散点另记为（）：（）：（）：（）：（）：（）：在式（）中使用变换 （）（），其中 是整数，使用欧拉公式和弦代换整理后得到：（）（）（）（）（）（）当 （）对应的系数不为 时，有 （）（）（）（）（）（）令（）（）（）（）式中：为加权数值格式（）对应的传播因子。当传播因子 时，根据 条件，对应的数值格式是稳定的。在式（）中，使用冻结系数法 ，并令 （），显然 。于是将加权 格 式（）对 应 的 传 播 因 子 简 写 为 （），。时，数值格式（）的传播因子是 （），显然，此时格式（）是 ，也即 无条件稳定。（，）时，若要传播因子满足（），即要 （）（），右边的不等式对任意 显然恒成立。由左边的不等式解出 （），同时 （）恒成立。也即左边的不等式对任意 也恒成立。综上，（，）时，其对应的差分格式（）无条件稳定。时，差分格式（）对应的传播因子（）（）。若要 成立，则有 ，该不等式显然成立。此时格式（）是 ，也即 无条件稳定。（，）时，若要传播因子满足（），即要 （）（），右边的不等式在 时恒成立，解左边的不等式有 （），即 （）（）。此时固定空间步长，探究时间步长对差分格式（）稳定性的影响。即需 （）。此时求得（）（）综上，当 （，）时，固定 ，才能给出时间步长范围，使数值格式（）达到稳定。时，差分格式（）对应的传播因子是 。若要，则要 成立。同理，要 ，有 （）此时格式（）是 。即需根据具体的参数给出 的稳定性条件。定理 固定空间步长 ，使用加权格式（）离散式（）时的稳定性条件与加权因子的取值有关。具体关系见表 。表 不同加权因子下数值格式稳定性条件 加权因子范围稳定性条件 ，无条件稳定（，（）（）在第 节中将使用加权法数值模拟具体 方程的基态，验证定理 的准确性。加权格式局部截断误差分析下面讨论加权格式（）在离散式（）时产生的局部截断误差。加权因子 时，将 （，）在（，）点处按泰勒（）级数展开，有（，（）（，）！（，）！（，）整理之后，得 （，）（）同理，北京信息科技大学学报（自然科学版）第 卷（，）（）现将式（）中的每一项在点（，）处按 级数展开，有（，）（，）（）（，）（，）（，）（）（）（）（）（）即 时，加权格式（）离散式（）时产生的局部截断误差是 （）。时，格 式（）即 为 。将（，）在（，）点处按 级数展开，有 （，（）（）（，（）（）（）（，（）（）（）将式（）与式（）相加有（，（）（）将式（）中的每一项在点（，）处按 级数展开，得（，）（，）（）（，）（，）（，）（）（）即 时，对应的数值格式是 。其离散式（）产生的局部截断误差为 （）。定理 使用加权数值格式（）离散式（）时产生的局部截断误差与加权因子 的选取有关。当 时，局部截断误差是 （）。当 时，产生的局部截断误差是 （）。从以上关于加权法局部截断误差的分析来看，当加权因子取 时，对应数值格式 有更小的局部截断误差。因此从局部截断误差大小的角度来看，加权法的最优加权因子是 。数值实验本节以具体的方程为例，数值验证加权法求基态的有效性及稳定性条件。（）（）（）（）（）（）式中：（）表示函数 （）对变量 的二阶导数。取初 始 值（），固 定 空 间 步 长 。基于 节关于加权法数值格式稳定性的讨论，可以得到加权格式离散式（）时的稳定性条件，即 ，时，数值格式无条件稳定；当（，时，时间步长满足 （），对应的差分格式才是稳定的。绘制式（）的基态数值解 和能量 （）随时间的演化图，如图 所示。由于没有式（）的解析解，故用向后欧拉伪光谱法 离散式（），并取时间步长 ，空间步长 ，将得到的数值解看作真实解，以作参考。图 ，时式（）的基态解和能量随时间演化 ，（）第 期吕思琪等：凝聚态基态解的加权数值方法及稳定性分析图 ，时式（）的基态解和能量随时间演化 ，（）图 ，时式（）的基态解和能量随时间演化图 ，（）图 ，时式（）的基态解和能量随时间演化图 ，（）取 ，时，图 是不同时间步长下的数值模拟结果。时间步长 取任意值，观察图像发现基态数值解与真实解非常接近，且能量随时间推移呈递减趋势。即加权因子 ，时，对应的数值格式可以有效地求基态数值解，且是无条件稳定的。取 （，）时，若要数值格式稳定，时间步长需满足 。图 是不同时间步长下的模拟结果。观察图 ，时间步长 满足数值稳定性条件，故可以很好地模拟基态数值解，且能量随时间呈递减趋势。但在图 中，因选取的时间步长 不满足数值稳定条件，所以差分格式不稳定，无法得到基态数值解和能量演化图。表列出加权因子 ，并固定时间步长 ，对应数值格式在第 时的误差以及收敛阶。其中，无穷范数误差、范数误差计算公式为 （，）(（，）)收敛阶 的计算公式为 （）（）北京信息科技大学学报（自然科学版）第 卷式中：表示空间步长取 时对应的误差，。表 加权因子 时对应数值格式的误差与收敛阶 空间步长收敛阶收敛阶 因此，加权因子 时，对应数值格式在空间方向具有二阶收敛性。结束语本文使用加权法离散归一化梯度流求 基态解，整合和扩充了离散归一化梯度流的经典有限差分法，提高了数值编程的统一性和便利性。其中，加权因子是介于 到 之间的任意实数。结合 条件和冻结系数法详细证明了数值方法的稳定性，并用数值实验验证了结论。结果表明，在符合稳定条件的步长下，加权法可以有效解决基态数值解问题。并给出了它的数值收敛阶。同时，还分析了加权法取不同加权因子时的局部截断误差，从误差大小的角度来看，本文构造的加权法的最优加权因子为 。参考文献：甘晓 物质“第五态”，室温搞定！中国科学报，（），！，（）（），：，：，：，（）：，：刘文杰，王汉权 配置谱方法求解 凝聚态的基态解 应用数学和力学，（）：，（）：（），（）：，：，（）：，（）：，：，：，：，（）：曹蕊，华冬英，王茜，等 凝聚问题基态解的数值方法比较和分析 北京信息科技大学学报（自然科学版），（）：，（）：（），（）：冯悦 凝聚基态解的时空自适应方法 杭州：浙江大学，：，（），（）：