第二类Fredholm模糊积分方程的模糊数值解.pdf

第 卷第期V o l ,N o 滨州学院学报J o u r n a l o fB i n z h o uU n i v e r s i t y 年月A p r,【微分方程与动力系统研究】第二类F r e d h o l m模糊积分方程的模糊数值解收稿日期:基金项目:安徽省高等学校省级质量工程项目(m o o c );安徽省教育厅自然科学研究重点项目(AH );亳州学院大学生创新项目(X J XM );安徽省教育厅自然科学基金项目(K J A )第一作者简介:刘雪铃(),女,安徽阜阳人,讲师,硕士,主要从事微分方程的数值解研究.E m a i l:q q c o m刘雪铃,黄静,冯依虎,崔钰晗(亳州学院 电子与信息工程系,安徽 亳州 )摘要:研究了一类模糊集意义下的第二类F r e d h o l m模糊积分方程的数值解.采用残余幂级数法得到第二类F r e d h o l m模糊积分方程的k级截断级数解,将第二类F r e d h o l m模糊积分方程的数值解用泰勒光滑公式展开,并通过代数方程组求解出相关系数.最后,结合数值算例证明了残余幂级数方法的稳定性和收敛性.关键词:第二类F r e d h o l m模糊积分方程;残余幂级数法;模糊微分方程;数值解;模糊函数中图分类号:O ;O 文献标识码:AD O I:/j c n k i 引言文献 建立的模糊函数的思想受到国内外众多学者的关注 .近年来,模糊积分微分方程在不确定性下建模的动态系统中起着愈发重要的作用.文献 研究了第二类F r e d h o l m模糊积分方程(F F I D),在模糊数的参数形式下,将方程转换为第二类直线积分方程组,利用A d o m i a n方法获得了第二类线性模糊F r e d h o l m积分方程的模糊解的近似值.文献 将线性模糊F r e d h o l m积分方程转化为等价的两个线性第二类积分方程,使用N y s t r o m数值方法,获得第二类线性模糊F r e d h o l m积分方程的模糊解的近似值.文献 利用B e r n s t e i n和脉冲函数在区间上的组合,研究了线性模糊F r e d h o l m积分方程组的解,并且证明了解的存在性和收敛性.关于此方面的论文可参见文献 .综上可知,近年来关于第二类F r e d h o l m模糊积分方程的数值研究主要集中点在局部边值问题.但是在实际模拟过程中,由于多种因素的干扰,对于方程解的问题,不能只考虑其依赖于边值条件.故本文利用残余幂级数(R P S)法研究了第二类F r e d h o l m模糊积分方程的数值解,并通过数值实例验证了方法的可行性与有效性.预备知识定义若Env|v:Rn,满足条件:v是上半连续函数;若存在tRn,使得v(t),则称v是正规的模糊集;vc ltRn|v(t)是紧集;v是凸模糊集,即对t,tR,有v(t()t)m i nv(t),v(t),则称En是n维模糊数空间.定义 如果对vE,r,则v的r阶水平截集被定义为第期刘雪铃,黄静,冯依虎,等第二类F r e d h o l m模糊积分方程的模糊数值解vrtR|v(t)r,r,c l v,r.由以上表达式容易得到,r,vr是闭区间而且是有界的.为了书写方便,本文统一将v的上下端点简记为vr,vr,即vvr,vr.定义 若u,vE,kR,则基于扩张原理的和()、积()可表示为uvuvrurvrurvr,urvr,uvu vrm i nurvr,urvr,urvr,urvr,m a xurvr,urvr,urvr,urvr ,kuk urk ur,k ur,k,k ur,k ur,k.下面通过更加详细的定理来描述一维模糊数.定义 对于vE,vvr,vr,若v为,上的函数并且满足条件:vr单调非减左连续,vr单调非增连续,vr和vr在r处右连续,vrvr,则称vr,vr在,上连续.若F(t)rFr(t),Fr(t),Fr(t)和Fr(t)都可微,则有F(t)F r(t),F r(t),F(t)F r(t),F r(t).简记为情况()和情况().定理 若,Ia,b,令F:IE是模糊函数,使得F(t)rFr(t),Fr(t),则:()当F是第()种情况时有cDaF(t,r)cDaFr(t),cDaFr(t);()当F是第()种情况时有cDaF(t,r)cDaFr(t),cDaFr(t).其中cDaFr(t)(m)xFrm()(x)md,mm,m N,cDaFr(t)(m)xFrm()(x)md,mm,m N.定义 若F:a,bE是一个模糊函数,对每一个分割点Pt,t,tna,b和iti,ti(in),假设RpniF(i)titi()m a xintiti(),则定义baF(t)dtl i mRp,而且baF(t)dtbaFr(t)dt,baFr(t)dt.数值的求解提出一种新的数值解析方法求解第二类F r e d h o l m积分方程的模糊数值解(x)baK(x,t)(t)dtf(x),xa,b,ta,b,()满足初始条件 ().()滨州学院学报第 卷这里的,K(x,t),f(x)为定义在区间a,b上的已知核函数、模糊函数,(x)是未知的模糊函数.则该方程可能只具有模糊解,现在用r阶水平截集表示f(x),(x),有(x)rr(x),r(x),f(x)rfr(x),fr(x).则方程()()可以表示为r(x)baK(x,t)r(t)dtfr(x),r()r,()r(x)baK(x,t)r(t)dtfr(x),r()r.()下面采用文献中提出的R P S法来求出第二类F r e d h o l m积分方程的模糊数值解.根据R P S法,假设方程()的解用泰勒光滑公式表示为 r(x)mEmxm,()r(x)mFmxm,()由于r()r,r()r,则E r,F r,方程()()可以用k级截断的级数将方程的近似解表示为kr(x)EmEmxm,()kr(x)FmFmxm,()通过R P S法,替换式()()中的kr(x),kr(x)进入第k个残余函数如下:R eskr(x)kr(x)baK(x,t)kr(t)dtfr(x),()R eskr(x)kr(x)baK(x,t)kr(t)dtfr(x).()为了求出E,F,令式()()中的k,R esr()R esr(),则有EE EbaK(,t)dtfr()baK(,t)dt,FF FbaK(,t)dtfr()baK(,t)dt.令式()()中的k,ddxR esr()ddxR esr(),则有EE EbaxK(,t)dt EbaxK(,t)tdtf r()baxK(,t)tdt,FF FbaxK(,t)dt FbaxK(,t)tdtf r()baxK(,t)tdt.令式()()中的k,ddxR esr()ddxR esr(),则有第期刘雪铃,黄静,冯依虎,等第二类F r e d h o l m模糊积分方程的模糊数值解EE EbaxK(,t)dt EbaxK(,t)tdt EbaxK(,t)tdtf r()baxK(,t)tdt,FF FbaxK(,t)dt FbaxK(,t)tdt FbaxK(,t)tdtf r()baxK(,t)tdt.同样的方法令式()()中的km,可以得到Em(m)!Emm jEjbamxm K(,t)tj dtf(m)r()bam xm K(,t)tmdt,Fm(m)!Fmm jFjbamxm K(,t)tj dtf(m)r()bam xm K(,t)tmdt.因此,方程()()数值解可以表述为r(x)Em(m)!Emm jEjbamxm K(,t)tj dtf(m)r()bam xm K(,t)tmdt,r(x)Fm(m)!Fmm jFjbamxm K(,t)tj dtf(m)r()bam xm K(,t)tmdt.例题为了证明上述方法的可行性,给出例题,用上述方法进行求解,同时给出其数值解.(x)c s c h()s i n h(x)(t)dtc o s h(x)s i n h(x),(),.在第()种可微的情况下r(x)c s c h()s i n h(x)r(t)dtc o s h(x)s i n h(x),r(x)c s c h()s i n h(x)r(t)dtc o s h(x)s i n h(x).带有初值r(),r().采用R P S法有R eskr(x)kr(x)c s c h()s i n h(x)kr(t)dtc o s h(x)s i n h(x),R eskr(x)kr(x)c s c h()s i n h(x)kr(t)dtc o s h(x)s i n h(x).其中,kr(x)rnmEmtm,kr(x)rnmFmtm.利用d(k)dxkR eskr()d(k)dxkR eskr()(k,n),滨州学院学报第 卷当n 时,取不同值,可以得到Em与Fm即可求出数值解,如表所示.表例的数值解xrr 结论利用R P S法研究了强广义可微性下第二类F r e d h o l m模糊积分方程的数值解.将问题以参数化的形式引入,并将其转化为两个等价的常积分微分方程进行求解.数值结果表明了R P S法求解问题的有效性和可靠性.本文提出的数值方法可为模糊积分方程的数值解提供一定的理论基础,但是R P S法是否适用于求解分数阶模糊积分方程的数值解还有待考虑,因此笔者未来的工作可能会通过R P S等方法研究分数阶模糊积分方程的数值解以及解的存在唯一性.参考文献:D I D I E RD,HE N R IP T o w a r d s f u z z yd i f f e r e n t i a l c a l c u l u sp a r t:i n t e g r a t i o no f f u z z ym a p p i n g sJF u z z ys e t sa n ds y s t e m s,():S UR YAN S UR I n t e r a c t i o nb e t w e e n t h e f u z z ys u b s e t s a n d t h e a u t o m o r p h i s m s o f ag r o u pJ I n f o r m a t i o ns c i e n c e s,():L OWE NR F u z z yr a t i o n a l sa n do t h e rs u b s p a c e so f t h e f u z z yr e a l l i n eJ F u z z ys e t sa n ds y s t e m s,():B A B O L I ANE,S A D E GH IH,A B B A S B AN D YS N u m e r i c a l s o l u t i o no f l i n e a rF r e d h o l mf u z z y i n t e g r a l e q u a t i o n so f t h es e c o n dk i n db yA d o m i a nm e t h o dJ A p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n,():A B B A S B AN D YS,B A B O L I ANE,A L AV IM N u m e r i c a lm e t h o d f o r s o l v i n g l i n e a rF r e d h o l mf u z z yi n t e g r a l e q u a t i o n so f t h es e c o n dk i n dJ C h a o s,s o l i t o n sa n df r a c t a l s,():M I R Z A E EF,YA R IM K,HO S E I N ISF,Ac o m p u t a t i o n a lm e t h o db a s e do nh y b r i do fB e r n s t e i na n db l o c k p u l s ef u n c t i o n sf o rs o l v i n gl i n e a r f u z z yF r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n ss y s t e mJ J o u r n a lo fT a i b a hU n i v e r s i t yf o rs c i e n c e,():AM I R F AKHR I AN M,S HAK I B IK F u z z yq u a s i i n t e r p o l a t i o ns o l u t i o n f o rF r e d h o l mf u z z y i n t e g r a le q u a t i o n so f s e c o n dk i n dJ S o f t c o m p u t i n g,():MOHAME DAR,HE B ASO,A D E LR H Ah i g h l ye f f i c i e n ta n da c c u r a t ef i n i t e i t e r a t i v em e t h o df o r s o l v i n g l i n e a r t w o d i m e n s i o n a lF r e d h o l mf u z z yi n t e g r a l e q u a t i o n so f t h es e c o n dk i n du s i n gt r i a n g u l a r f u n c t i o n sJ M a t h e m a t i c a l p r o b l e m s i ne n g i n e e r i n g,:R O YG W I L L I AM V E i g e nf u z z yn u m b e rs e t sJ F u z z ys e t sa n ds y s t e m s,():CHANGSS,Z A D EHLA O nf u z z ym a p p i n ga n dc o n t r o lJ I E E Et r a n s a c t i o n so ns y s t e m sm a n&c y b e r n e t i c s,():第期刘雪铃,黄静,冯依虎,等第二类F r e d h o l m模糊积分方程的模糊数值解 C ANOYC,F L O R E SH R O nn e ws o l u t i o n so f f u z z yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nJ C h a o ss o l i t o n s&f r a c t a l s,():S E I KKA L AS O nt h ef u z z yi n i t i a lv a l u ep r o b l e mJ F u z z ys e t s&s y s t e m s,():AGA RWA LRP,L AK S HM I KANTHAM V,N I E T OJ J O n t h e c o n c e p t o f s o l u t i o n f o r f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hu n c e r t a i n t yJ N o n l i n e a ra n a l y s i st h e o r y m e t h o d s&a p p l i c a t i o n s,():ME S E S I A RR An o t eo nan i l p o t e n t l o w e rb o u n do fn i l p o t e n tt r i a n g u l a rn o r m sJ F u z z ys e t sa n ds y s t e m s,():KOMA S HYN S KAI,A l S M I D A M,AT E I W IA,e t a l A p p r o x i m a t ea n a l y t i c a l s o l u t i o nb yr e s i d u a lp o w e r s e r i e sm e t h o d f o r s y s t e mo fF r e d h o l mi n t e g r a l e q u a t i o n sJ A p p l i e dm a t h e m a t i c s&i n f o r m a t i o ns c i e n c e s,():KHA L E D M,S MA D IAL,I S HAKH An o v e l r e p r e s e n t a t i o no f t h e e x a c t s o l u t i o n f o r d i f f e r e n t i a la l g e b r a i ce q u a t i o n ss y s t e mu s i n gr e s i d u a lp o w e r s e r i e sm e t h o dJ D i s c r e t ed y n a m i c si nn a t u r ea n ds o c i e t y,():MOHAMMA DA,S MA D IAL,R O Z I T AAR,e t a l C o m p u t a t i o n a l o p t i m i z a t i o no f r e s i d u a l p o w e rs e r i e sa l g o r i t h mf o rc e r t a i nc l a s s e so ff u z z yf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sJ I n t e r n a t i o n a lj o u r n a l o fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s,:N u m e r i c a l S o l u t i o no fF r e d h o l mF u z z yI n t e g r a lE q u a t i o no f t h eS e c o n dK i n dL I UX u e l i n g,HUANGJ i n g,F E NGY i h u,C U IY u h a n(D e p a r t m e n t o fE l e c t r o n i ca n dI n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,B o z h o uU n i v e r s i t y,B o z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:T h en u m e r i c a l s o l u t i o no fF r e d h o l mf u z z y i n t e g r a l e q u a t i o no f t h e s e c o n dk i n d i nt h e s e n s eo f a f u z z ys e t i ss t u d i e dm a i n l y T h ek o r d e rt r u n c a t e ds e r i e ss o l u t i o no ft h es e c o n dk i n do fF r e d h o l mf u z z y i n t e g r a l e q u a t i o n i so b t a i n e db yr e s i d u a l p o w e r s e r i e sm e t h o d T h en u m e r i c a l s o l u t i o no f t h e s e c o n dk i n do fF r e d h o l mf u z z y i n t e g r a l e q u a t i o n i se x p a n d e db yT a y l o r s m o o t h i n gf o r m u l a,a n dt h e r e l e v a n t c o e f f i c i e n t sa r e s o l v e db yA l g e b r a i c e q u a t i o n F i n a l l y,t h e s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo f r e s i d u a l p o w e r s e r i e sm e t h o da r ep r o v e db yn u m e r i c a l e x a m p l e s K e y w o r d s:F r e d h o l mf u z z y i n t e g r a l e q u a t i o n so f t h es e c o n dk i n d;r e s i d u a l p o w e r s e r i e sm e t h o d;f u z z yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s;n u m e r i c a l s o l u t i o n;f u z z yf u n c t i o n(责任编辑:贾晶晶)