1、矩阵知识点复习矩阵知识点复习 1第1页1.矩阵定义矩阵定义简记为简记为实矩阵实矩阵:元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵：元素是复数元素是复数2第2页一些特殊矩阵：一些特殊矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵2.矩阵基本运算矩阵基本运算矩阵相等矩阵相等:同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵行数相等、列数也相等两个矩阵行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）两个同型矩阵，对应元素相加（减）加法满足加法满足3第3页数乘满足数乘满足数与矩
2、阵相乘：数与矩阵相乘：数数 与矩阵与矩阵 乘积记作乘积记作 或或 ，要求为，要求为矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：设设要求要求其中其中4第4页乘法满足乘法满足矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律5第5页 A是是n 阶方阵，阶方阵，方阵幂：方阵幂：方阵多项式：方阵多项式：而且而且（m,k为正整数）为正整数）方阵行列式：方阵行列式：满足满足:6第6页转置矩阵转置矩阵:3一些特殊矩阵一些特殊矩阵:把矩阵把矩阵 行换成同序数列得到行换成同序数列得到 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 转置矩阵，记作转置矩阵，记作 .满足：满足：对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：7第7页伴随矩阵
3、：伴随矩阵：行列式行列式 各个元素代数余子式各个元素代数余子式 所所组成以下矩阵组成以下矩阵8第8页3.逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得则称矩阵则称矩阵A是可逆（非奇异、非退化、满秩）是可逆（非奇异、非退化、满秩）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A逆矩阵。逆矩阵。唯一性：唯一性：若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A逆矩阵是唯一逆矩阵是唯一.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若则则A、B都可逆，且都可逆，且9第9页满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法：（1）伴随矩阵法）伴随矩阵法（2）
4、初等变换法）初等变换法分块矩阵运算规则与普通矩阵运算规则相类似分块矩阵运算规则与普通矩阵运算规则相类似4.分块矩阵分块矩阵10第10页5.5.初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初初等等变变换换 逆逆变变换换三种初等变换都是可逆，且其逆变换是同一类型三种初等变换都是可逆，且其逆变换是同一类型初等变换初等变换11第11页矩阵等价：矩阵等价：初等矩阵：初等矩阵：由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到方阵经过一次初等变换得到方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵.假如矩阵假如矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩
5、阵B等价。记作等价。记作三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6.初等矩阵初等矩阵初等矩阵是可逆，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆，逆矩阵仍为初等矩阵。12第12页7.初等矩阵与初等变换关系：初等矩阵与初等变换关系：初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵定理：定理：13第13页即，即，8.用初等变换法求矩阵逆矩阵用初等变换法求矩阵逆矩阵14第14页注意注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须一直用行变换，用初等行变换求逆矩阵时，必须一直用行变换，其间不能作任何
6、列变换一样地，用初等列变换求逆矩阵其间不能作任何列变换一样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须一直用列变换，其间不能作任何行变换时，必须一直用列变换，其间不能作任何行变换15第15页9 矩阵方程矩阵方程例例:解矩阵方程解矩阵方程其中其中 均为可逆矩阵。均为可逆矩阵。注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X位置关系，位置关系，比如解比如解AX=B,需先考查需先考查A是否可逆，只有是否可逆，只有A可逆才能够解可逆才能够解此矩阵方程，在方程两边同时左乘此矩阵方程，在方程两边同时左乘A逆，而不能右乘，逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵
7、方程矩阵方程解解16第16页在一个在一个mn矩阵矩阵A中，中，位于这些行和列交叉点上位于这些行和列交叉点上个元素按原来个元素按原来次序组成一个次序组成一个k 阶行列式，称为阶行列式，称为A一个一个 k 阶阶定义定义1.任取任取k行行k列，列，10 矩阵秩矩阵秩子式，这里子式，这里矩阵矩阵A中不等于零子式最高阶数中不等于零子式最高阶数称为矩阵称为矩阵 A 秩秩,记为记为 R(A)定义定义2.17第17页(1)秩为秩为r 矩阵可能有等于零矩阵可能有等于零r，r-1 阶子式阶子式。注意：注意：初等变换求矩阵秩方法：初等变换求矩阵秩方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩.（3）初等变换不改变矩阵秩初等变换不改变矩阵秩（4）则则A，B等价等价充要条件是充要条件是 R(A)=R(B)设设A，B都是都是mn矩阵，矩阵，18第18页
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