基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1399-1414 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134131 文章引用文章引用:胡凯欣.基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法J.应用数学进展,2024,13(4):1399-1414.DOI:10.12677/aam.2024.134131 基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法 胡凯欣胡凯欣 长安大学理学院，陕西 西安 收稿日期：2024年3月19日；录用日期：2024年4月16日；发布日期：2024年4月23日 摘摘 要要 讨论了模糊软集上的三支决策问题。通过模糊软集上的模糊优势熵关系来构造模糊优势熵矩阵，从而提讨论了模糊软集上的三支决策问题。通过模糊软集上的模糊优势熵关系来构造模糊优势熵矩阵，从而提出模糊软集上的三支决策方法。首先，介绍了传统的优势关系和出模糊软集上的三支决策方法。首先，介绍了传统的优势关系和 优势关系，类比两种优势关系提出了优势关系，类比两种优势关系提出了优势熵关系的定义；其次，通过优势熵关系构造了优势熵矩阵及定义了优势熵类，基于优势熵类给出了优势熵关系的定义；其次，通过优势熵关系构造了优势熵矩阵及定义了优势熵类，基于优势熵类给出了模糊占优度的定义，依据优势熵矩阵定义模糊软集的损失函数表，计算模糊软集的三支决策阈值，结合模糊占优度的定义，依据优势熵矩阵定义模糊软集的损失函数表，计算模糊软集的三支决策阈值，结合模糊占优度来实现模糊软集的三支决策。最后，通过一个算例以及相关的对比分析，验证了本文所提三模糊占优度来实现模糊软集的三支决策。最后，通过一个算例以及相关的对比分析，验证了本文所提三支决策方法的实用性和有效性。支决策方法的实用性和有效性。关键词关键词 模糊软集，优势熵关系，优势熵矩阵，模糊占优度，三支决策模糊软集，优势熵关系，优势熵矩阵，模糊占优度，三支决策 Three-Way Decision Method of Fuzzy Soft Set Based on Dominant Entropy Matrix Kaixin Hu School of Science,Changan University,Xian Shaanxi Received:Mar.19th,2024;accepted:Apr.16th,2024;published:Apr.23rd,2024 Abstract The three-way decision problem on fuzzy soft sets is discussed.The fuzzy dominant entropy ma-trix is constructed by the fuzzy dominant entropy relationship on the fuzzy soft set,and the three-way decision method on the fuzzy soft set is proposed.Firstly,it introduces the traditional dominance relationship and dominance relationship,and puts forward the definition of do-minance entropy relationship by analogy.Secondly,the dominant entropy matrix is constructed and the dominant entropy class is defined based on the dominant entropy class.The fuzzy domin-胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1400 应用数学进展 ance degree is defined based on the dominant entropy class.The loss function table of the fuzzy soft set is defined based on the dominant entropy matrix,and the three decision thresholds of the fuzzy soft set are calculated.The three decisions of the fuzzy soft set are realized by combining the fuzzy dominance degree.Finally,through a numerical example and relevant comparative analysis,the practicability and effectiveness of the three decision-making methods proposed in this paper are verified.Keywords Fuzzy Soft Set,Dominant Entropy Relation,Dominant Entropy Matrix,Fuzzy Dominance,Three-Way Decision Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 软集理论是俄罗斯学者 Molodtsov 于 1999 年提出的用于处理模糊性、不确定性问题的数学工具，该理论相较于其它理论弥补了参数化不足的问题，从参数化角度描述对象与集合之间的关系，是对集合中的对象进行“近似”性的刻画，而无需精确的信息就能够反应出对象与集合之间的关系1。但是软集理论中参数的取值只能为 0 或 1，该种取值不利于处理含有复杂模糊信息的问题，在对象的属性程度上的描述也存在不足。于是 Maji 等人在 2001 年将模糊集和软集理论相结合，创新性地提出了模糊软集2的概念。模糊软集将软集理论与模糊集理论相结合，将软集的参数取值从0,1的二值集合拓展为0,1区间上的数值，从参数化和程度化的角度描述了对象所具有的属性特点。现存的模糊软集的研究主要集中在模糊软集的运算及性质3 4 5、模糊软集与其它不确定性理论的结合6 7 8 9 10、模糊软集的决策及参数约简11 12 13 14上。三支决策15是姚一豫等人在决策粗糙集的理论模型基础上提出的决策理论，相较于传统二支决策肯定与否定的决策行为，三支决策增加了对了解不全面、不充分的事物的延迟决策的处理。三支决策的理论思想为将对象整体分为三个部分，且分别对这三个部分采取接受、拒绝和延迟决策的行为。该决策方法为复杂问题提供了简洁高效的解决方法，且一经提出得到了迅速的发展。但是三支决策在软集领域的应用较少，巩增泰等人16将直觉模糊集诱导为软集，利用三支决策理论提出了软集三支决策的定性模型和定量模型。冯峰等人17利用软粗糙集理论建立了一种基于犹豫模糊集的广义粗糙模型，借助给定的预决策集，计算软上近似集并确定评价函数，提出了一种基于软粗糙集的犹豫模糊三支决策方法。现实中我们获取的数据之间通常存在着一定的偏好或有序关系，基于等价关系的经典粗糙集理论难以处理这类偏好或有序信息，为此，Greco 定义了一种新的二元关系优势关系18。但是由于传统优势关系普遍存在条件过于苛刻、对关系的描述过于粗略等缺点，无法精确地刻画两个对象之间的差异，限制了它们在实际问题的应用，因此吴家明等人提出了优势关系、劣势关系与信息熵的结合优劣关系熵19。以上优势关系的计算中都只考虑优势参数的个数，而未将参数值纳入计算中，导致从程度上刻画对象间的优势关系不够深入，因此本文在优劣关系熵的基础上纳入参数值的计算，提出优势熵关系。在模糊软集决策应用领域的研究工作中鲜有报道模糊软集三支决策方法的研究，因此本文结合优势熵关系提出模糊占优度，从而对模糊软集进行三支决策。Open AccessOpen Access胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1401 应用数学进展 2.基础知识基础知识 定义定义 1.1 1设 U 为非空有限论域，E 是参数集，()P U为论域 U 的幂集，AE，称序对(),F A为论域 U 上的软集，若 F 是 A 到()P U的一个映射，即():F AP U，对于eA，()F eU，()F e称为软集(),F A的 e-近似集合。定义定义 1.2 2设 U 为非空有限论域，E 是参数集。AE，()U是 U 上所有模糊子集所组成的集合，称序对(),F A是 U 上的模糊软集，其中F是 A 到()U的一个映射，即():F AU。对于任意的eA，()F e可以看作是模糊软集(),F A的 e-近似集合，且()F e可以被表示为()()().F exF exUx=其中，()()0,1F ex表示对象 x 属于模糊集()F e的隶属度。软集是用 0 和 1 的精确化描述来对参数进行近似，模糊软集将参数的取值取在区间0,1内，用区间0,1间的数来对参数进行模糊近似，用模糊近似代替了软集的精确近似。模糊软集从程度化和参数化的角度来描述客观事物，并通过程度化描述“是”或“不是”的中间状态，更符合人类的思维逻辑20。例例 1.1 设126,Ux xx=表示房子的集合，A 是参数集合且 125,cheap,wooden,bieatiful,environment,trafficAe ee=模糊软集(),F A可以表示为：()11234560.1 0.3 0.6 0.2 0.1 0.8,F exxxxxx=，()21234560.6 0.3 0.4 0.3 0.1 0.2,F exxxxxx=，()31234560.5 0.3 0.4 0.2 0.4 0.1,F exxxxxx=，()41234560.2 0.5 0.3 0.7 0.5 0.2,F exxxxxx=，()51234560.1 0.3 0.6 0.2 0.1 0.8,F exxxxxx=.这里模糊软集(),F A所描述的是对于购买者来说“房子的吸引力”。为了方便储存及直观表示，可以将模糊软集(),F A用一个二维表格表示，如表 1 所示：Table 1.Fuzzy soft set(),F A 表表 1.模糊软集(),F A U e1 e2 e3 e4 e5 x1 0.1 0.6 0.5 0.2 0.5 x2 0.3 0.2 0.3 0.5 0.2 x3 0.6 0.4 0.4 0.3 0.6 x4 0.2 0.3 0.2 0.7 0.4 x5 0.1 0.1 0.4 0.5 0.3 x6 0.8 0.2 0.1 0.2 0.1 胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1402 应用数学进展 定义定义 1.3 21设(),F A是论域 U 的一个模糊软集，,eA xU 满足条件()()0F ex=，即所有对象在所有参数下的隶属度为 0，则称(),F A为模糊零软集；,eA xU 满足条件()()1F ex=，即所有对象在所有参数下的隶属度为 1，则称(),F A为模糊全软集。定义定义 1.4 21设(),F A和(),G B是论域 U 的两个模糊软集，若,ABaA 使得()()F aG a=成立，则称(),F A为(),G B的模糊软子集，记为()(),F AG B；如果满足()(),F AG B且()(),G BF A，则(),F A和(),G B是模糊软相等的，即()(),F AG B=。在实际问题的分析中，我们所获得的数据之间通常存在着一定的偏好或有序关系，这导致对象之间也存在优势或劣势关系。下面是模糊软集上的优势关系的定义。定义定义 1.5 22设(),F A是论域 U 上的一个模糊软集，称AR=()()jmF ex为对象mx在参数je下的参数值。mx在任意参数je下的取值均大于等于对象nx的值，则(),nmxx满足该优势关系，表示在该模糊软集中对象mx比nx更具有优势。定义定义 1.6 22设(),F A是论域 U 上的一个模糊软集，,mnxxU mn，定义()()()()(),Amnjjmjnjdxxe F exF exeA=为对象mx和nx的优势参数集，称矩阵()(),Amnm n UDdxx=为优势矩阵，其中优势矩阵为UU维的矩阵且(),Ammdxx=。但是由于该定义中优势关系的条件过于苛刻，且存在对关系的描述上过于粗略的缺点，故刻画两个对象间的差异不够精确，限制了这些对象在实际问题中的应用，因此吴家明19等人提出了优势关系、劣势关系与信息熵的结合优劣关系熵。定义定义 1.7 19设(),SU C V f=为一个基于的优劣关系的信息系统，其中12,nUu uu=为对象集，12,mCc cc=为非空有限属性集，kkccCVV=是所有属性值的集合，kcV是属性kcC的值域，且属性值域kcV有偏好次序。:f UCV是一个信息函数，,kcC uU，(),kkcf u cV，()1,2,km=，为参数且(0,1。则优势关系定义为：()()()12,ijijikljklklkkkpPuuu uf u cf u cccccCm=表示iu在程度上优于ju。相较于传统的优势关系，优势关系提出了优势程度参数的概念，能够更加灵活的刻画两个样本之间的优势程度。定义定义 1.8 19设(),SU C V f=为一个基于的优劣关系的信息系统，对于任意uU，u 的优势类定义为：uv vuvU=。定义定义 1.9 19设(),SU C V f=为一个基于的优劣关系的信息系统，其中12,nUu uu=为对 象集，则的优势关系矩阵定义为：()ijn nRuu=，其中，()1,0,jiijjiuuuuuu=，(),1,2,i jn=.定义定义 1.10 19令R是 U 上的优势关系矩阵，则优势关系熵定义为 胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1403 应用数学进展 ()2logRH RU=其中，表示矩阵的基数。优劣关系熵可以从不同粒度的层次上对目标概念的不确定性进行度量19。但是无论是传统的优势关系还是上述定义的优势关系，它们都只考虑不同属性值下的大小来确定优势关系，而没有将属性值纳入计算中，因此本文提出了优势熵关系。介绍优势熵关系前，首先引入模糊软矩阵及取优运算的概念。定义定义 1.11 14设(),F A是论域 U 的一个模糊软集，定义模糊软矩阵()ijUAMm=，其中()()jijiF emx=1,2,iU=，1,2,jA=。具体如下：()()()()()()()()()()()()1212111AAF eF eF eUUUF eF eF exxxMxxx=.其中，()()()()()()()12,:AiiiF eF eF eM ixxx=为模糊软矩阵的第 i 行，表示对象ix在各个参数 下的取值向量。定义定义 1.12 设(),F A是论域 U 的一个模糊软集，M 为(),F A的模糊软矩阵，,ijx xU，定义符号为两对象的取优运算，对象ix与jx的取优运算为()()1,:,:,1,2,kAM iMjmkA=记为ijX，其中()()()()()()()()()(),0,kkkkkiijF eF eF ekijF eF exxxmxx=，()1,2,kA=.ijX表示对比对象ix与jx的各参数下的取值，保留ix大于等于jx的参数值。得到两对象的取优向量后，可定义两对象的优势熵及模糊软集的优势熵关系。定义定义 1.13 设(),F A是论域 U 的一个模糊软集，,ijx xU，对象ix与jx在参数子集 A 下的优势熵定义为()logijijXH XA=.其中，ijX表示对向量ijX的各元素求和，A表示求集合 A 的基数。()ijH X表示对象ix在参数集 A下优于对象jx的熵值，称ARH为模糊软集的优势熵关系，即：()()(),Aijj iijRHx xUU H XH X=.优势熵关系相较于上述定义的传统优势关系和优势关系，将对象的属性值纳入了计算中，在比较两个对象优势关系的同时，对它们的优势程度也有了一定的刻画。定义定义 1.14 设(),F A是论域 U 的一个模糊软集，,ijx xU，定义 胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1404 应用数学进展 ()(),logijijijXd x xH XA=为对象ix优于jx的优势熵值，称矩阵()(),iji j UDd x x=为优势熵矩阵，其中优势熵矩阵为UU维 的矩阵。定义定义 1.15 设(),F A是论域 U 的一个模糊软集，称 (),ijijAAxxUx xRH=为对象ix的优势熵类。性质性质 1.1 设(),F A和(),G B是论域 U 的两个模糊软集，(),F A为(),G B的模糊软子集，AB，ARH和BRH分别为(),F A和(),G B上的优势熵关系，ixU，iAx和 iBx分别为ix在优势熵关系ARH和BRH下的优势熵类，M 为(),F A的模糊软矩阵，有如下性质：1)ARH是自反的和传递的；2)AB，有BARHRH；3)AB，有 iiBAxx；4)ijAAxx=当且仅当()(),:,:M iMj=；5)xU，有 Ax 且 Ax UxU=。定义定义 1.16 设(),F A是论域 U 的一个模糊软集，iAx为对象ix在优势熵关系ARH下的优势熵类，称()iAixxU=为对象ix的模糊占优度，其中表示集合的基数。对象的优势熵类表示的是该对象所优于的对象的集合，模糊占优度是指该对象优势熵类的基数与论域的基数的比值，模糊占优度反应了该对象在这个模糊软集中所占优势的程度，模糊占优度越高，所占优势程度越大。例例 1.2 某人想要购买一部手机，销售员为其挑选了六部手机供其选择，模糊软集(),F A描述了该人对6 部手机的购买意愿和看法，6 部手机的集合为123456,Ux xx xx x=，手机参数构成的参数集为12345,Ae e e e e=，其中12345,e e e e e分别表示“手机价格”，“屏幕尺寸”，“内存容量”，“处理器型号”，“操作系统”。模糊软集(),F A的信息表如表 2 所示。Table 2.Fuzzy soft set(),F A 表表 2.模糊软集(),F A U e1 e2 e3 e4 e5 x1 0.3 0.3 0.7 0.6 0.4 x2 0.5 0.8 0.6 0.4 0.2 x3 0.2 0.7 0.4 0.5 0.3 x4 0.7 0.6 0.5 0.6 0.1 x5 0.6 0.2 0.8 0.7 0.3 x6 0.4 0.1 0.7 0.6 0.9 胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1405 应用数学进展 要求该模糊软集的优势熵矩阵，首先求出每个对象的优势熵值：()1 10.30.30.70.60.4log0.3375H X+=，()1 20.70.60.4log0.4695H X+=，()1 30.30.70.60.4log0.3985H X+=，()1 40.70.60.4log0.4695H X+=，()6 50.9log0.7455H X=，()6 60.40.10.70.60.9log0.2685H X+=.得出优势熵矩阵为 0.3370.4690.3980.4690.8540.4950.5850.3010.4200.4950.7960.5850.8540.7960.3770.6990.6990.8540.4200.5850.4440.3010.5850.4200.3770.3190.3190.4440.2840.3370.2840.3570.2840.3570.7450.268D=由优势熵类的定义可求得各对象的优势熵类及模糊占优度为：1123,Axx xx=，2234,Axxx x=，33Axx=，4134,Axx x x=，5123456,Axx xx xx x=，612346,Axx xx xx=。()136x=，()236x=，()316x=，()436x=，()566x=，()656x=。3.基于优势熵矩阵的模糊软集的三支决策方法基于优势熵矩阵的模糊软集的三支决策方法 3.1.相对损失函数相对损失函数 传统的二支决策思想为将一个整体划分为两个部分，并对这两个部分分别采取接受和拒绝的行动。三支决策作为二支决策的延伸与发展，近年来受到广泛的关注与研究。三支决策理论是关于思维、问题解决和信息处理的三元理论23。当面对一个复杂的整体时，通常会将其分解为三个部分，以实现一个高层次、快速、易于理解的概念化。三支决策的决策框架为三分-行为-结果(TAO)，它由三个部分组成24：1)将目标整体进行三分，将其分为三个部分，2)对这三个部分设计处理策略，3)将三分法和行动相结合，得到一个理想的结果。由 TAO 模型可看出，三支决策的三分是关键，在研究三分的问题上，Yao 25提出了一种在集合理论中基于评估的模型，首先给出需要评估的实例，例如学生的成绩、患者的血压、软件的性能等，在根据它们的评估值，通过一对阈值来将对象集合划分为三个分别具有高，中和低值的对象子集。定义定义 2.1 26设非空集合 U 为对象的论域。函数:0,1e U 称为求值函数。对于xU，()e x称为x 的评估值。给定一对阈值(),01，可以将 U 分为正区域、负区域和边界区域，如下所示：()()()()()()()()(),.POSexU e xNEGexU e xBNDexUe x =条件确保这三个区域是两两不相交的。胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1406 应用数学进展 对集合进行三划分以后，需要对这三个划分后的子集设计相应的处理策略，对这三个区域构建接受、拒绝和既不接受也不拒绝的决策规则，即对于xU：(P)如果()(),xPOSe，即()e x，则接受 x；(N)如果()(),xNEGe，即()e x，则拒绝 x；(B)如果()(),xBNDe，即()e x，则既不接受也不拒绝 x。也就是说当一个对象的评估较高，属于闭区间,1时，对该对象采取接受的策略；当一个对象的评估值较低，属于闭区间0,时，对该对象采取拒绝的策略；当一个对象的评估值既不高也不低，属于开区间(),时，则对该对象采取既不接受也不拒绝的策略，即做出不承诺的决策。本文用模糊占优度来作为对象的评估函数，给出对象的评估值。定义定义 2.2 设(),F A是论域 U 上的一个模糊软集，给定一对阈值(),01，可以将 U 分为正区域、负区域和边界区域，如下所示：()()()()()()()()(),.POSxUxNEGxUxBNDxUx =条件确保这三个区域是两两不相交的。模糊占优度()x表示的是对象在该模糊软集所有对象中的占优程度，若一个对象的占优程度较高，属于闭区间,1时，则将该对象划分到正域中；若一个对象的占优程度较低，属于闭区间0,时，则将该对象划分到负域中；若一个对象的占优程度既不高也不低，属于闭区间,时，则将该对象划分到边界域中。分别对这三个区域构建不同的决策规则，即对于xU：(P)如果()(),xPOS，即()x，则接受 x；(N)如果()(),xNEG，即()x，则拒绝 x；(B)如果()(),xBND，即()x，则既不接受也不拒绝 x。由上可知，将对象集合三分的关键是阈值的选取，在决策粗糙集中是通过引入损失函数，以最小化决策风险为目标来对阈值(),进行求解。两种状态集,CX X=表示事件属于 X 或不属于 X 两种状态，决策集,PBNAaaa=表示将对象划分到正域、边界域或负域的决策行为，用PP、BP、NP分别表示当xC时，采取,PBNaaa决策行为时的损失函数值；用PN、BN、NN来分别表示当CxX时，采取,PBNaaa决策行为时的损失函数值，则决策损失矩阵如表 3 所示。Table 3.Decision loss matrix 表表 3.决策损失矩阵 X XC aP PP PN aB BP BN aN NP NN 表中，PP及NN表示做出正确分类带来的损失值，NP及PN表示做出错误分类所带来的损失值，BP及BN表示做出延迟决策所带来的损失值，根据最小风险 Bayes 决策原则，通过计算代价函数15可胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1407 应用数学进展 得()()PNBNPNBNBPPP=+，()()BNNNBNNNNPBP=+随着对阈值求解研究的更加深入，Liu 27将绝对损失函数替换为相对损失函数，将阈值重写为()()()P B NP B NB P P=+，()()()B N NB N NNB P=+其中，()P B N表示当cxC时，将对象放入正域和边界域时的损失差异，同理()B P P、()B N N、()NB P。28将PP、BP、NP减去()minP，同理PN、BN、NN减去()minN得到相对损失函数表如表 4 所示 Table 4.Relative loss function table 表表 4.相对损失函数表 X XC aP 0 PN aB BP BN aN NP 0 其中，BPBPPP=，NPNPPP=，PNPNNN=，BNBPNN=。3.2.基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法基于优势熵矩阵的模糊软集三支决策方法 优势熵矩阵的每一行表示该对象优于除自己本身外其他对象的熵值，由于优势熵的计算公式是单调 递减的，故熵值越小则表示该对象越优，每一行的最小熵值()minjH x表示该对象优于其它对象的最大程度，最大熵值()maxjH x表示该对象优于其它对象的最小程度，该行的平均熵值()averagejH x反映了该 对象优于其它对象的综合优势程度。Liu 和 Zhou 29在求相对损失函数值时引入了一个参数0,1来求延迟决策时的损失函数值，本文同样引入参数0,1来求边界域内对象的损失值。则基于优势熵值的相对损失函数表如表 5 所示。Table 5.Relative loss function table 表表 5.相对损失函数表 X XC aP 0()()maxminjjH xH x aB()()()maxaveragejjH xH x()()()maxminjjH xH x aN()()maxaveragejjH xH x 0 这里的PP和NN都取零是指正确划分对象所产生的损失值为零，当对象不属于 X 时，将其划分到正 域中所产生的损失值为()()maxminjjH xH x，意味着对象在该模糊软集中越优，()minjH x越小，错胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1408 应用数学进展 误分类所产生的损失值PN越大；当对象属于X时将其划分到负域的损失值为()()maxaveragejjH xH x，意味着对象的优势熵值越稳定，错误分类所产生的损失值NP越小；用()()()maxaveragejjH xH x和()()()maxminjjH xH x表示延迟决策所带来的损失，其中参数0,1，由此可得阈值分别为：()()()()()()()()()()()maxminmaxminmaxaverage11jjijjjjH xH xH xH xH xH x=+，()()()()()()()()()()maxminmaxminmaxaverage1jjijjjjH xH xH xH xH xH x=+.为了更符合现实情况和语义，认为每个对象都有六个损失函数，因此每个对象都能求出两个阈值，为了减少由于多个阈值而增加的决策风险，计算它们的平均阈值，通过平均阈值来反映阈值的总体趋势，为决策过程提供便利，计算公式为30：11niin=，11niin=.续例续例 1.2：计算得该模糊软集得优势熵矩阵为 0.3370.4690.3980.4690.8540.4950.5850.3010.4200.4950.7960.5850.8540.7960.3770.6990.6990.8540.4200.5850.4440.3010.5850.4200.3770.3190.3190.4440.2840.3370.2840.3570.2840.3570.7450.268D=取0.3=，依据表 5 来计算每个对象的相对损失函数表，如表 6 所示：Table 6.Table of relative loss functions for each object 表表 6.各对象相对损失函数表 x1 X XC aP 0 0.517 aB 0.105 0.155 aN 0.35 0 x2 X XC aP 0 0.495 aB 0.08 0.149 aN 0.266 0 x3 X XC aP 0 0.477 aB 0.042 0.143 aN 0.141 0 胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1409 应用数学进展 续表 x4 X XC aP 0 0.284 aB 0.038 0.085 aN 0.126 0 x5 X XC aP 0 0.16 aB 0.029 0.048 aN 0.097 0 x6 X XC aP 0 0.477 aB 0.109 0.143 aN 0.362 0 得到相对损失函数以后，可求得每个对象的阈值及最终阈值，如表 7 所示：Table 7.Threshold table 表表 7.阈值表 i i x1 0.775 0.388 x2 0.812 0.445 x3 0.889 0.591 x4 0.840 0.490 x5 0.794 0.414 x6 0.754 0.360 平均 0.811 0.448 得到阈值后，根据每个对象的模糊占优度对对象进行三支决策，决策表如表 8 所示：Table 8.Decision table 表表 8.决策表 x1 x1 x1 x1 x1 x1()ix 0.5 0.5 0.167 0.5 1 0.833 决策 B B N B P P 由此可得，销售员可向其推荐第 5 和第 6 部手机供其选择购买，可将第 1、2、4 部手机纳入考虑之中，可不考虑第 3 部手机。胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1410 应用数学进展 4.算例分析算例分析 通过对葡萄干质量的判定实例来验证本文所提三支决策方法的实用性和有效性。4.1.实例验证实例验证 有一批种植的不同品种的葡萄所制成的葡萄干样本，数据来源于 UCI 数据库，选取某一品种的 50个样本，将其标记为1250,Ux xx=，判定该批葡萄干样本的质量所考虑的参数共七个，分别为葡萄干的面积(e1)、长轴长度(e2)、短轴长度(e3)、偏心率(e4)、凸面积(e5)、范围(e6)及周长(e7)。本例中的两种状态分别为品质优和品质差，三种决策分别为将葡萄干样本划分至品质优类、将葡萄干样本划分为品质差类以及品质需进一步考量类。首先对数据进行处理归一化，再通过本文所提方法算出这 50 个样本的模糊优势占优度，可得到它们占优度的排名如图 1 所示。Figure 1.Fuzzy dominance ranking of 50 samples 图图 1.50 个样本的模糊占优度排名 由图可知质量最优对象为 25 和 41。通过计算可得到两阈值分别为0.78,0.4=，可将该批葡萄干样本依据模糊占优度进行三分得到表 9。Table 9.Decision results 表表 9.决策结果 区域 对象 数量 POS(X)x1,x2,x3,x5,x11,x14,x15,x23,x25,x29,x31,x39,x41,x44,x45 15 BND(X)x8,x10,x17,x18,x20,x21,x22,x24,x26,x27,x28,x30,x33,x34,x38,x42,x43,x47 18 NEG(X)x4,x6,x7,x9,x12,x13,x16,x19,x32,x35,x36,x37,x40,x46,x48,x49,x50 17 由表可知，这 50 个葡萄干样本共被划分为三个部分，其中有 15 个样本划分至正域，也即品质优秀类；有 17 个样本划分至负域，即品质差类；18 个样本划分至边界域，即品质需加以考量类。由结果可知该三支决策方法是切实可行的。胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1411 应用数学进展 4.2.对比分析对比分析 在模糊软集决策方法的研究中，还没有三支决策的研究，现有的决策方法都是对决策对象进行排序，因此用本文的方法求出各对象的排名后与现存方法进行对比分析。模糊软集的决策方法主要可分为四类，分别为基于相对优势参数数量及相对劣势参数数量的决策方法、基于对象参数值形成模糊选择值的决策方法、基于对象与理想解的相似度及与正负理想解的距离的决策方法和基于水平软集生成水平选择值的方法。Roy 等人31通过对比各对象的优势参数的个数建立对象间的关系对照表，用对照表的行和与列和的差值生成对象的得分值，从而将对象进行排序；孔芝等人32通过对对象参数值求和得出对象的模糊选择值，从而将对象进行排序；Hwang 等人33提出的 Topsis 法是通过计算对象与正理想解和负理想解之间的距离得出各对象的综合评分，从而对各个对象进行排名。将本文方法与以上三种方法进行比较，获得排名比较结果，如图 2 所示。从图中可以看出，本文所提方法与现存方法的运算结果具有高度的相似性，且相较于传统方法，本文的方法还能将对象进行分类。胡凯欣 DOI:10.12677/aam.2024.134131 1412 应用数学进展 Figure 2.Comparison chart of ranking of 50 samples under three methods 图图 2.50 个样本在三种方法下的排名对比图 冯峰等人14提出了基于水平软集的模糊软集决策方法，通过设置水平值将模糊软集转化为软集，最后得出软集的水平选择值从而得出最优对象。由于水平软集方法所计算的各对象水平决策值相同值较多，因此用本文方法与该方法进行对象排序比较。在计算葡萄干模糊软集的水平软集时将水平值设为 0.9 求出各对象的得分值，将其排名与本方法所得排名进行比较，选排名前七的对象得出比较结果如表 10：Table 10.Sort results 表表 10.排序结果 决策方法 排序结果 冯峰等人方法14 254133114411xxxxxxx Topsis 法33 253114132311xxxxxxx Roy 等人方法31 311254111339xxxxxxx 孔芝等人方法32 254131131144xxxxxxx 本文方法 254133114411xxxxxxx 由排序结果可知，在冯峰等人所提方法中，x25和 x41为最优对象；Topsis 法和孔芝等人所提方法中，x25为最优对象；Roy 等人所提方法中，x31和 x1为最优对象；本文所提方法中，x25和 x41为最优对象。用不同方法所得对象排名存在略微的不同，但是对象 x25和 x41均在每种方法的排名前三中。5.总结总结 本文对模糊软集上的三支决策问题进行了研究。首先定义了优势熵关系，并基于此构造优势熵矩阵并定义了优势熵类，基于优势熵类给出了模糊占优度的定义。接着依据优势熵矩阵定义模糊软集的损失函数表，计算模糊软集的三支决策阈