1.1.1导数的概念.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
1.1.1导数的概念（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解导数的定义。
2、 会用导数定义求基本初等函数的导数。
3、 理解导数的几何意义。
4、 理解可导和连续的关系。
重点
导数定义的理解
难点
会用导数定义求基本初等函数的导数
教
学
方
法
手
段
讲授为主，数形结合。
主
要
内
容
时
间
分
配
引例1、2 5分钟
一、 导数
1、 导数定义 10分钟
2、 导函数 5分钟
3、 左右导数 5分钟
4、 函数可导性 5分钟
5、 求导一般步骤 5分钟
例1-例4 20分钟
二、 导数的几何意义 10分钟
例5 5 分钟
三、 可导与连续的关系 10分钟
小结 10分钟
作业
P47-3、4
备注

8
1.1.1导数的概念
引例
1． 变速直线运动的瞬时速度
设物体沿直线作变速运动，其经过的路程与时间的函数关系是，求该物体在时刻处的瞬时速度。
设物体从到时间段经过的路程为，即，于是该物体在时间段内运动的平均速度

如果物体作匀速运动，则是常数，它就是物体在时刻的瞬时速度，但在变速运动中，是随时间的不同取值而不同，平均速度只是时刻速度的近似值，而且越小，这种近似程度就越好，于是当0时，平均速度就应趋向于物体在时刻处的瞬时速度。即有

变速直线运动在时刻处的瞬时速度反映了路程对时刻变化快慢的程度，因此，速度又称为路程在时刻处的变化率。
2． 曲线切线的斜率
设是坐标平面内的一条曲线，其方程为。M
是曲线上的一点,求曲线在该点处切线MT的斜率。
在M点附近任取一点M作割线MM,倾角为,其斜率为，当M沿曲线接近M点时,割线就越接近切线,从而割线的斜率就越接近切线的斜率。换句话说，||越小，其接近程度就越高,从而当时，点M就沿着曲线趋向于M，割线MM就趋向于曲线在M处的切线MT，于是割线MM的斜率就应趋向于切线MT的斜率。设切线MT倾角为，则
tantan
曲线在点M处的切线反映了曲线在点M处升降的快慢程度。因此，切线斜率，又称为曲线在处的变化率。

一、导数
1、导数的定义
设函数在点的某个邻城内有定义，当自变量在点
处取得增量≠0）时，函数取得相应的增量
如果时，若

存在，则称此极限为在点处的导数，记作
或 ，或，或
并称函数在点处可导；如果不存在，则称函数在点处不可导。
注：
（1）如果不可导的原因是极限为无穷大，则导数是不存在的，但为了以后方便起见，也称函数在处的导数为无穷大。
（2）导数概念是函数变化率的精确描述，撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质：函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度。
（3）导数定义的等价形式：

或
或

2、导函数
如果函数在区间 内的每一点都可导，则称函数在区间 内可导。这时对于区间 内的每一个值，都有惟一确定的导数值当取遍 内一切值时，这样就构成了一个新函数，这个函数叫做原来函数的导函数，记作
或，或，或
按照导数的定义，有

显然函数在点的导数就是导函数在点处的函数值，即

今后在不引起混淆的情况下，导函数也简称导数。通常所说的求导数，就是指求函数的导函数。
3、左、右导数
如果存在，则称该极限值为函数在处的左导数，记作；
如果存在，则称该极限值为函数在处的右导数，记作。
定理 函数在点处可导的充要条件是左导数、右导数都存在并且相等。
注：本定理常用于判断分段函数在分段点处是否可导。
4、函数的可导性
如果函数在开区间 内可导，且和都存在，则称在闭区间上可导。

5、求导数的一般步骤：
（1）写出函数的增量；
（2）计算比值；
（3）求极限。
【例1】求常函数 (为常数)的导数。
解 (1)求增量
(2)算比值
(3)取极限
即，也就是，常数的导数为零。
【例2】求函数的导数。
解 (1)求增量 …
(2)算比值…
(3)取极限
即
【例3】求函数的导数。
解(1)求增量

(2)算比值
(3)取极限
即

【例4】求函数且≠1)的导数。
解
(1) 求增量

(2) 算比值
(3) 取极限

即
特别地，当时，有
二、导数的几何意义
函数在点处的导数在几何上表示为曲线在点M处切线的斜率，即 ≠），这就是导数的几何意义。
如果在点处的导数为无穷大，即不存在，这时，曲线在点M处的切线垂直于轴；如果在点处的导数为零，这时曲线在点M处的切线平行于轴。
根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，我们即可得到曲线在点M处的
切线方程
法线方程

【例5】求曲线在点（，）处的切线方程与法线方程。
解
由导数几何意义，所求切线的斜率为

所以切线方程为 即
法线方程为 即
三、可导与连续的关系
定理 如果函数在点处可导,则在点处连续。
证明 因为在点处可导，故有 存在，
由极限与无穷小的关系有
， 其中，
因此 ；
所以 ，
即函数在点处是连续的。
注：上述定理的逆命题不一定成立，即一个函数在某点处连续，但在该点处函数却不一定可导。
如连续函数 ||在点处不可导
因为 所以
当时，，当时，
因而 ，
所以 不存在，即连续函数 在处不可导。
由此可见，函数连续是可导的必要条件，但不是充分条件。

小结：极限、连续和可导的关系
函数可导必连续，连续的函数一定有极限，所以可导就一定有极限。
（1）、存在，称函数有极限。
（2），称函数在点处连续。
（3）存在，称函数在点处可导。