椭圆及其标准方程数控编程模板.doc

椭圆及其标准方程编程提示　
一、 教学目标
(一)知识教学点
使学生理解椭圆的定义, 掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．
(二)能力训练点
经过对椭圆概念的引入与标准方程的推导, 培养学生分析探索能力, 增强运用坐标法解决几何问题的能力．
(三)学科渗透点
经过对椭圆标准方程的推导的教学, 能够提高对各种知识的综合运用能力．
二、 教材分析
1．重点: 椭圆的定义和椭圆的标准方程．
(解决办法: 用模型演示椭圆, 再给出椭圆的定义, 最后加以强调; 对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)
2．难点: 椭圆的标准方程的推导．
(解决办法: 推导分4步完成, 每步重点讲解 关键步骤加以补充说明．)
3．疑点: 椭圆的定义中常数加以限制的原因．
(解决办法: 分三种情况说明动点的轨迹．)
三、 活动设计
提问、 演示、 讲授、 详细讲授、 演板、 分析讲解、 学生口答．
四、 教学过程
(一)椭圆概念的引入
前面, 大家学习了曲线的方程等概念, 哪一位同学回答:
问题1: 什么叫做曲线的方程? 求曲线方程的一般步骤是什么? 其中哪几个步骤必不可少?
对上述问题学生的回答基本正确, 否则, 教师给予纠正．这样便于学生温故而知新, 在已有知识基础上去探求新知识．

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．
问题3: 圆的几何特征是什么? 你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索?
一般学生能回答: ”平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如:
”到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”
”到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”
”到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”
教师要加以肯定, 以鼓励同学们的探索精神．
比如说, 若同学们提出了”到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”, 那么动点轨迹是什么呢? 这时教师示范引导学生绘图:
取一条一定长的细绳, 把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13), 当绳长大于F1和F2的距离时, 用铅笔尖把绳子拉紧, 使笔尖在图板上慢慢移动, 就能够画出一个椭圆．
教师进一步追问: ”椭圆, 在哪些地方见过? ”有的同学说: ”立体几何中圆的直观图．”有的同学说: ”人造卫星运行轨道”等……

在此基础上, 引导学生概括椭圆的定义:
平面内到两定点F1、 F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做焦距．
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、 F2的距离之和等于常数、 教师在演示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外, 得到的不是椭圆, 而是椭球形, 使学生认识到需加限制条件: ”在平面内”．
(2)这里的常数有什么限制吗? 教师边演示边提示学生注意: 若常数=|F1F2|, 则是线段F1F2; 若常数＜|F1F2|, 则轨迹不存在; 若要轨迹是椭圆, 还必须加上限制条件: ”此常数大于|F1F2|”．
(二)椭圆标准方程的推导
1．标准方程的推导
由椭圆的定义, 能够知道它的基本几何特征, 但对椭圆还具有哪些性质, 我们还一无所知, 因此需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程? 根据求曲线方程的一般步骤, 可分: (1)建系设点; (2)点的集合; (3)代数方程; (4)化简方程等步骤．
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则, 如使关键点的坐标、 关键几何量(距离、 直线斜率等)的表示式简单化, 注意充分利用图形的对称性, 使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点F1、 F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0), M(x, y)为椭圆上任意一点, 则有F1(-1, 0), F2(c, 0)．

(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为:
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．
(3)代数方程

(4)化简方程
化简方程可请一个反映比较快、 书写比较规范的同学板演, 其余同学在下面完成, 教师巡视, 适当给予提示:
①原方程要移项平方, 否则化简相当复杂; 注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后, 再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
②为使方程对称和谐而引入b, 同时b还有几何意义, 下节课还要

(a＞b＞0)．
关于证明所得的方程是椭圆方程, 因教材中对此要求不高, 可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上, 焦点是F1(-c, 0)、 F2(c, 0)．这里c2=a2-b2．
2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、 F2(c, 0), 这里c2=a2-b2;

-c)、 F2(0, c), 这里c2=a2+b2, 只须将(1)方程的x、 y互换即可得到．
教师指出: 在两种标准方程中, ∵a2＞b2, ∴能够根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
(三)例题与练习
例题　 平面内两定点的距离是8, 写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．
分析: 先根据题意判断轨迹, 再建立直角坐标系, 采用待定系数法得出轨迹方程．
解: 这个轨迹是一个椭圆, 两个定点是焦点, 用F1、 F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系．
∵2a=10, 2c=8．
∴a=5, c=4, b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3
因此, 这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想, 焦点F1、 F2放在y轴上, 线段F1F2的垂直平分

练习1　 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

练习2　 下列各组两个椭圆中, 其焦点相同的是　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]

由学生口答, 答案为D．
(四)小结
1．定义: 椭圆是平面内与两定点F1、 F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-15、 2-16．

4．焦点: F1(-c, 0), F2(c, 0)．F1(0, -c), F2(0, c)．
五、 布置作业
1．如图2-17, 在椭圆上的点中, A1与焦点F1的距离最小, |A1F1|=2, A2
F1的距离最大, |A2F1|=14, 求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程:

是过F1的直线被椭圆截得的线段长, 求△ABF2的周长．
作业答案:

4．由椭圆定义易得, △ABF2的周长为4a．
六、 板书设计

X=a*SQRT/b y为变量 Z=A*SQRT( B*B-X*X) /B X为变量
x为函数 Z为函数

Y=b*SQRT/a x为变量 X=B*SQRT( A*A-Z*Z) /A Z为变量
y为函数 X为函数

#1=A #2=B #3= X -----Z #4=Y--------X

#3=#1*SQRT( #2*#2-#4*#4) /#2 X为变量 #4=#4-0。5 G72
Z为函数

#4=#2*SQRT( #1*#1-#3*#3) /#1 Z为变量 #3=#3-0。5 G71
X为函数